Seja um fio de comprimento
disposto simetricamente ao longo do eixo
, isto é, entre
. Suponha que esse fio apresente uma distribuição linear
de cargas não uniforme, com maior densidade nas extremidades do fio, e descrita por
, em que
é uma constante cuja unidade é
. Sejam os itens a seguir.
b. Assumindo
, determine a carga total do fio.
b. Assumindo
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado fala sobre um fio de 1 metro de comprimento, alinhado simetricamente no eixo z, de -0.5 m a +0.5 m. A distribuição de carga nesse fio não é uniforme; ela varia de acordo com a posição ao longo do fio, seguindo a fórmula
. Aqui,
é uma constante dada como 1 C/m³. Nosso objetivo é calcular a carga total desse fio.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa
. Ela representa a densidade linear de carga, ou seja, a quantidade de carga por unidade de comprimento do fio. A unidade correta para densidade linear de carga é C/m, mas no enunciado está dada como C/m³. Parece que houve um pequeno equívoco, mas vamos seguir com
como densidade linear de carga em C/m.
Passo 3
Para encontrar a carga total (
) do fio, vamos integrar a densidade linear de carga ao longo do comprimento do fio. A fórmula para isso é:
Substituindo os valores de
m e
, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular essa integral. Sabemos que:
Portanto:
Passo 5
Calculando os valores:
Substituindo de volta:
Passo 6
Simplificando:
Resposta
A carga total do fio é
.