Seja um fio de comprimento ell disposto simetricamente ao longo do eixo z, isto é, entre z=-ell2 e z=+ell2. Suponha que esse fio apresente uma distribuição linear rhoell de cargas não uniforme, com maior densidade nas extremidades do fio, e descrita por rhoell=k cdot z^prime 2, em que k é uma constante cuja unidade é C / m^3. Sejam os itens a seguir.
b. Assumindo k=1 C / m^3 e ell=1 m, determine a carga total do fio.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado fala sobre um fio de 1 metro de comprimento, alinhado simetricamente no eixo z, de -0.5 m a +0.5 m. A distribuição de carga nesse fio não é uniforme; ela varia de acordo com a posição ao longo do fio, seguindo a fórmula rhoell = k cdot z^prime 2. Aqui, k é uma constante dada como 1 C/m³. Nosso objetivo é calcular a carga total desse fio.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa rhoell. Ela representa a densidade linear de carga, ou seja, a quantidade de carga por unidade de comprimento do fio. A unidade correta para densidade linear de carga é C/m, mas no enunciado está dada como C/m³. Parece que houve um pequeno equívoco, mas vamos seguir com rhoell = k cdot z^prime 2 como densidade linear de carga em C/m.

Passo 3

Para encontrar a carga total ( Q) do fio, vamos integrar a densidade linear de carga ao longo do comprimento do fio. A fórmula para isso é:
Q = integral-l/2^+l/2 rhoell , dz
Substituindo os valores de l = 1 m e rhoell = k cdot z^prime 2, temos:
Q = integral-0.5^+0.5 k cdot z^prime 2 , dz

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral. Sabemos que:
integral z^prime 2 , dz = z^prime 33
Portanto:
Q = k [ z^prime 33 ]-0.5^+0.5 = k ( (0.5)^33 - (-0.5)^33 )

Passo 5

Calculando os valores:
(0.5)^3 = 0.125 (-0.5)^3 = -0.125
Substituindo de volta:
Q = k ( 0.1253 - -0.1253 ) = k ( 0.125 + 0.1253 ) = k ( 0.253 )

Passo 6

Simplificando:
Q = k cdot 112 Q = 1 cdot 112 Q = 112 , C

Resposta

A carga total do fio é 112 , C.

Exercícios relacionados