Seja um fio de comprimento ell disposto simetricamente ao longo do eixo z, isto é, entre z=-ell2 e z=+ell2. Suponha que esse fio apresente uma distribuição linear rhoell de cargas não uniforme, com maior densidade nas extremidades do fio, e descrita por rhoell=k cdot z^prime 2, em que k é uma constante cuja unidade é C / m^3. Sejam os itens a seguir.
a. Obtenha, via aplicação da lei de Coulomb, uma expressão para o vetor intensidade de campo elétrico E em um ponto qualquer a uma distância rho do ponto médio do fio, no plano z=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! No nosso exercício, temos um fio de comprimento ell espalhado de forma simétrica ao longo do eixo z, ou seja, vai de z=-ell2 até z=+ell2. Esse fio não tem uma distribuição de carga uniforme; na verdade, a carga é maior nas extremidades e é dada pela fórmula rhoell=k cdot z^prime 2, onde k é uma constante. Nosso objetivo aqui é usar a Lei de Coulomb para encontrar uma expressão para o campo elétrico E em um ponto que está a uma distância rho do ponto médio do fio, no plano z=0.
Para resolver isso, vamos precisar saber:
  • Lei de Coulomb: que descreve o campo elétrico criado por uma carga.
  • Princípio da Superposição: que nos permite somar os campos de diferentes partes do fio.
  • Cálculo de integrais: já que a carga está distribuída continuamente ao longo do fio.

Passo 2

Primeiro, imagine a gente pegando um pedacinho bem pequeno do fio, com comprimento dz', localizado em uma posição z'. A carga desse pedacinho é dada por dq = rhoell dz' = k z^prime 2 dz'. Esse dq vai ser a base para calcular o campo elétrico gerado por cada pedacinho do fio.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o campo elétrico dE criado por esse pedacinho de carga dq em um ponto específico no espaço. Esse ponto está a uma distância rho do centro do fio, no plano z=0. Usando a Lei de Coulomb, o campo elétrico devido a uma carga pontual é dado por:
dE = 14pi epsilon0 dqr^2 r
Aqui, r é a distância entre o pedacinho de carga dq e o ponto onde queremos calcular o campo, e r é o vetor unitário que aponta nessa direção.

Passo 4

Vamos determinar r e r para o nosso caso. O ponto onde queremos calcular o campo está na posição (rho, 0, 0), enquanto o pedacinho de carga está na posição (0, 0, z'). Então, a distância r entre eles é:
r = raizrho^2 + z'^2
E o vetor unitário r, que aponta de dq para o ponto de observação, é dado por:
r = rho rho - z' zraizrho^2 + z'^2
Aqui, rho é a direção radial no plano z=0 e z é a direção ao longo do eixo z.

Passo 5

Substituindo dq e r na expressão de dE, temos:
dE = 14pi epsilon0 k z'^2 dz'rho^2 + z'^2 cdot (rho rho - z' z)(rho^2 + z'^2)^1/2
Simplificando, fica:
dE = k4pi epsilon0 z'^2 (rho rho - z' z)(rho^2 + z'^2)^3/2 dz'

Passo 6

Para achar o campo elétrico total E, precisamos somar os campos de todos os pedacinhos de carga ao longo do fio. Isso significa que vamos integrar dE de z' = -ell2 até z' = +ell2:
E = integral-ell/2^ell/2 dE = k4pi epsilon0 integral-ell/2^ell/2 z'^2 (rho rho - z' z)(rho^2 + z'^2)^3/2 dz'

Passo 7

Observando a simetria do problema, percebemos que as componentes do campo na direção z vão se cancelar, já que para cada z' positivo tem um z' negativo que cancela. Portanto, o campo elétrico total vai ter apenas a componente na direção radial rho. Ficando assim:
Erho = k rho4pi epsilon0 integral-ell/2^ell/2 z'^2(rho^2 + z'^2)^3/2 dz'

Passo 8

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição simples. Vamos definir u = rho^2 + z'^2, então du = 2 z' dz'. No entanto, para simplificação, lembramos que:
integral z'^2(rho^2 + z'^2)^3/2 dz' = z'rho^2 raizrho^2 + z'^2

Passo 9

Aplicando essa antiderivada na nossa integral, temos:
Erho = k rho4pi epsilon0 [ z'rho^2 raizrho^2 + z'^2 ]-ell/2^ell/2
Simplificando:
Erho = k4pi epsilon0 rho ( ell/2raizrho^2 + (ell/2)^2 - -ell/2raizrho^2 + (ell/2)^2 )

Passo 10

Agora, somando os termos dentro dos parênteses:
ell/2raizrho^2 + (ell/2)^2 + ell/2raizrho^2 + (ell/2)^2 = ellraizrho^2 + (ell/2)^2

Resposta

Portanto, a expressão para o campo elétrico E no ponto considerado é:
E = k ell4pi epsilon0 rho raizrho^2 + ( ell2 )^2 , rho

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