Seja um fio de comprimento
disposto simetricamente ao longo do eixo
, isto é, entre
. Suponha que esse fio apresente uma distribuição linear
de cargas não uniforme, com maior densidade nas extremidades do fio, e descrita por
, em que
é uma constante cuja unidade é
. Sejam os itens a seguir.
a. Obtenha, via aplicação da lei de Coulomb, uma expressão para o vetor intensidade de campo elétrico
em um ponto qualquer a uma distância
do ponto médio do fio, no plano
.
a. Obtenha, via aplicação da lei de Coulomb, uma expressão para o vetor intensidade de campo elétrico
Passo 1
Beleza, vamos lá! No nosso exercício, temos um fio de comprimento
espalhado de forma simétrica ao longo do eixo
, ou seja, vai de
até
. Esse fio não tem uma distribuição de carga uniforme; na verdade, a carga é maior nas extremidades e é dada pela fórmula
, onde
é uma constante. Nosso objetivo aqui é usar a Lei de Coulomb para encontrar uma expressão para o campo elétrico
em um ponto que está a uma distância
do ponto médio do fio, no plano
.
Para resolver isso, vamos precisar saber:
- Lei de Coulomb: que descreve o campo elétrico criado por uma carga.
- Princípio da Superposição: que nos permite somar os campos de diferentes partes do fio.
- Cálculo de integrais: já que a carga está distribuída continuamente ao longo do fio.
Passo 2
Primeiro, imagine a gente pegando um pedacinho bem pequeno do fio, com comprimento
, localizado em uma posição
. A carga desse pedacinho é dada por
. Esse
vai ser a base para calcular o campo elétrico gerado por cada pedacinho do fio.
Passo 3
Agora, queremos encontrar o campo elétrico
criado por esse pedacinho de carga
em um ponto específico no espaço. Esse ponto está a uma distância
do centro do fio, no plano
. Usando a Lei de Coulomb, o campo elétrico devido a uma carga pontual é dado por:
Aqui,
é a distância entre o pedacinho de carga
e o ponto onde queremos calcular o campo, e
é o vetor unitário que aponta nessa direção.
Passo 4
Vamos determinar
e
para o nosso caso. O ponto onde queremos calcular o campo está na posição
, enquanto o pedacinho de carga está na posição
. Então, a distância
entre eles é:
E o vetor unitário
, que aponta de
para o ponto de observação, é dado por:
Aqui,
é a direção radial no plano
e
é a direção ao longo do eixo
.
Passo 5
Substituindo
e
na expressão de
, temos:
Simplificando, fica:
Passo 6
Para achar o campo elétrico total
, precisamos somar os campos de todos os pedacinhos de carga ao longo do fio. Isso significa que vamos integrar
de
até
:
Passo 7
Observando a simetria do problema, percebemos que as componentes do campo na direção
vão se cancelar, já que para cada
positivo tem um
negativo que cancela. Portanto, o campo elétrico total vai ter apenas a componente na direção radial
. Ficando assim:
Passo 8
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição simples. Vamos definir
, então
. No entanto, para simplificação, lembramos que:
Passo 9
Aplicando essa antiderivada na nossa integral, temos:
Simplificando:
Passo 10
Agora, somando os termos dentro dos parênteses:
Resposta
Portanto, a expressão para o campo elétrico
no ponto considerado é: