Dada a distribuição de frequências de uma população com classes desiguais a seguir, faça o que se pede:
CLASSE F f f a c
55 vdash 75 30 0,15
75 vdash 125
125 vdash 200 100
sum
d) Calcule o desvio padrão dos dados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá uma tabela de distribuição de frequências com classes desiguais e pede para calcular o desvio padrão dessa população. Pra isso, vamos precisar saber como organizar os dados, encontrar a média e, por fim, calcular o desvio padrão usando fórmulas de estatística básica. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos completar a tabela que falta algumas informações. A tabela que temos é a seguinte:
CLASSE F f f a c
55 vdash 75 30 0,15
75 vdash 125
125 vdash 200 100
sum
Sabemos que a soma das frequências relativas ( f) deve ser igual a 1 (ou 100%). Já temos f = 0,15 para a primeira classe e as demais precisamos encontrar.
Vamos chamar a frequência da segunda classe de F2 e da terceira classe de F3 = 100. Sabemos que:
f = FN
onde N é o total de observações. Como temos f para a primeira classe, podemos encontrar N:
0,15 = 30N implies N = 300,15 = 200
Agora sabemos que N = 200. Então, a frequência relativa das outras classes são:
Para a segunda classe:
f2 = F2200
E para a terceira classe:
f3 = 100200 = 0,5
Como a soma das frequências relativas deve ser 1:
0,15 + f2 + 0,5 = 1 implies f2 = 1 - 0,65 = 0,35
Agora, encontramos f2 = 0,35, então a frequência da segunda classe é:
F2 = f2 times 200 = 0,35 times 200 = 70
Agora, completamos a tabela:
CLASSE F f f a c
55 vdash 75 30 0,15 0,15
75 vdash 125 70 0,35 0,50
125 vdash 200 100 0,5 1,00
sum 200 1,00

Passo 3

Agora, vamos calcular o ponto médio de cada classe, que é o valor central de cada intervalo. O ponto médio ( xi) é dado por:
xi = Limite Inferior + Limite Superior2
Vamos calcular para cada classe:
  1. 55 até 75:
x1 = 55 + 752 = 1302 = 65
  1. 75 até 125:
x2 = 75 + 1252 = 2002 = 100
  1. 125 até 200:
x3 = 125 + 2002 = 3252 = 162,5
Vamos adicionar esses valores à tabela:
CLASSE F f f a c xi
55 vdash 75 30 0,15 0,15 65
75 vdash 125 70 0,35 0,50 100
125 vdash 200 100 0,5 1,00 162,5
sum 200 1,00

Passo 4

Vamos calcular a média ( mu) dos dados usando os pontos médios e as frequências. A fórmula para a média é:
mu = sum (F times xi)N
Vamos calcular sum (F times xi):
  1. 55 até 75:
30 times 65 = 1950
  1. 75 até 125:
70 times 100 = 7000
  1. 125 até 200:
100 times 162,5 = 16250
Somando tudo:
1950 + 7000 + 16250 = 25200
Agora, calculamos a média:
mu = 25200200 = 126
Então, a média dos dados é 126.

Passo 5

Agora, vamos calcular o desvio padrão. Primeiro, encontramos a variância e depois tiramos a raiz quadrada dela.
A fórmula da variância ( sigma^2) para dados agrupados é:
sigma^2 = sum [F times (xi - mu)^2]N
Vamos calcular (xi - mu)^2 para cada classe:
  1. 55 até 75:
(65 - 126)^2 = (-61)^2 = 3721
  1. 75 até 125:
(100 - 126)^2 = (-26)^2 = 676
  1. 125 até 200:
(162,5 - 126)^2 = (36,5)^2 = 1332,25
Agora, multiplicamos cada resultado pela frequência correspondente:
  1. 55 até 75:
30 times 3721 = 111630
  1. 75 até 125:
70 times 676 = 47320
  1. 125 até 200:
100 times 1332,25 = 133225
Somando tudo:
111630 + 47320 + 133225 = 292175
Agora, calculamos a variância:
sigma^2 = 292175200 = 1460,875

Passo 6

Finalmente, tiramos a raiz quadrada da variância para encontrar o desvio padrão ( sigma):
sigma = raiz1460,875 approx 38,21

Resposta

O desvio padrão dos dados é aproximadamente 38,21.

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