Dada a distribuição de velocidades de Maxwell-Boltzmann
qual a probabilidade máxima de encontrar-mos uma partícula com uma dada velocidade
a uma temperatura
? (Dica, você deverá realizar o teste da primeira derivada para obter o extremo da função, use a regra do produto, verifique o que é constante.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que achar a probabilidade máxima de encontrar uma partícula com uma certa velocidade
numa temperatura
, usando a distribuição de velocidades de Maxwell-Boltzmann. Para isso, vamos precisar calcular a derivada dessa função em relação a
, aplicar a regra do produto, e encontrar onde essa derivada é zero para identificar o ponto de máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função que nos foi dada:
Aqui,
é a massa da partícula,
é a constante de Boltzmann,
é a temperatura, e
é a velocidade. Queremos achar o valor de
que maximiza
, ou seja, encontrar o pico dessa distribuição.
Passo 3
Para encontrar o valor de
que maximiza
, vamos calcular a derivada de
em relação a
e igualar a zero. Isso porque, nos pontos onde a derivada é zero, podemos ter máximos ou mínimos.
Primeiro, vamos identificar as partes da função que dependem de
. Temos
e
. Vamos chamar essas duas partes de
e
.
A derivada de um produto de funções,
, é dada pela regra do produto:
Passo 4
Vamos calcular cada derivada separadamente.
Primeiro,
:
Segundo,
:
Para derivar isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de
é
.
Aqui,
, então:
Portanto,
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Factorizando
:
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Isso ocorre quando qualquer um dos fatores é zero:
O primeiro caso,
, não é o máximo que estamos buscando. Então, focamos no segundo:
Esse é o valor de
que maximiza
.
Resposta
A probabilidade máxima de encontrar uma partícula com velocidade
é:
Simplificando:
Finalmente: