Dada a distribuição de velocidades de Maxwell-Boltzmann
f(v)=4 pi(m2 pi kB T)^3 / 2 v^2 e^-m v^22 kB T
qual a probabilidade máxima de encontrar-mos uma partícula com uma dada velocidade v a uma temperatura T ? (Dica, você deverá realizar o teste da primeira derivada para obter o extremo da função, use a regra do produto, verifique o que é constante.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que achar a probabilidade máxima de encontrar uma partícula com uma certa velocidade numa temperatura , usando a distribuição de velocidades de Maxwell-Boltzmann. Para isso, vamos precisar calcular a derivada dessa função em relação a , aplicar a regra do produto, e encontrar onde essa derivada é zero para identificar o ponto de máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função que nos foi dada:
f(v) = 4 pi ( m2 pi kB T )^3/2 v^2 e^-m v^22 kB T
Aqui, é a massa da partícula, é a constante de Boltzmann, é a temperatura, e é a velocidade. Queremos achar o valor de que maximiza , ou seja, encontrar o pico dessa distribuição.

Passo 3

Para encontrar o valor de ddv[u cdot w] = u' cdot w + u cdot w' que maximiza , vamos calcular a derivada de em relação a e igualar a zero. Isso porque, nos pontos onde a derivada é zero, podemos ter máximos ou mínimos.
Primeiro, vamos identificar as partes da função que dependem de . Temos e . Vamos chamar essas duas partes de e .
A derivada de um produto de funções, , é dada pela regra do produto:

Passo 4

Vamos calcular cada derivada separadamente.
Primeiro, u'(v) = ddv(v^2) = 2v :
f'(v) = -2 m v2 kB T = -m vkB T
Segundo, w'(v) = e^-m v^22 kB T cdot ( -m vkB T ) = -m vkB T e^-m v^22 kB T :
Para derivar isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de ddv[u cdot w] = 2v cdot e^-m v^22 kB T + v^2 cdot ( -m vkB T e^-m v^22 kB T ) é ddv[u cdot w] = 2v e^-m v^22 kB T - m v^3kB T e^-m v^22 kB T .
Aqui, ddv[u cdot w] = v e^-m v^22 kB T ( 2 - m v^2kB T ) , então:
Portanto,
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Factorizando :

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
v e^-m v^22 kB T ( 2 - m v^2kB T ) = 0
Isso ocorre quando qualquer um dos fatores é zero:
  1. 2 - m v^2kB T = 0 m v^2kB T = 2 v^2 = 2 kB Tm v = raiz 2 kB Tm
O primeiro caso, , não é o máximo que estamos buscando. Então, focamos no segundo:
Esse é o valor de que maximiza .

Resposta

A probabilidade máxima de encontrar uma partícula com velocidade f(vmáx) = 4 pi ( m2 pi kB T )^3/2 ( raiz 2 kB Tm )^2 e^-m ( raiz 2 kB Tm )^22 kB T é:
f(vmáx) = 4 pi ( m2 pi kB T )^3/2 cdot 2 kB Tm cdot e^-1 = ( m2 pi kB T )^3/2 cdot 8 pi cdot kB Tm cdot e^-1 á
Simplificando:
f(vmáx) = ( m2 pi kB T )^1/2 cdot 8 pi cdot e^-1 á
Finalmente:
á

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