Dada a EDO
determine:
a) A solução da equação diferencial linear homogênea associada. (Valor=1,0) 114 4
a) A solução da equação diferencial linear homogênea associada. (Valor=1,0) 114 4
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar a solução da equação diferencial linear homogênea associada à seguinte EDO:
Estamos trabalhando com equações diferenciais lineares homogêneas de quarta ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que envolve resolver a equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma:
a equação característica é:
No nosso caso, temos:
Portanto, a equação característica é:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação característica. Primeiro, podemos fatorar o polinômio:
Isso nos dá duas partes para resolver:
Passo 4
Resolvendo
, temos uma raíz dupla:
Agora, resolvemos a segunda parte
. Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara:
Então, temos uma raíz dupla para
.
Passo 5
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação homogênea. Para raízes reais e múltiplas, usamos termos como
multiplicados por polinômios em
. Assim, as raízes
(multiplicidade 2) e
(multiplicidade 2) nos dão:
Simplificando
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial homogênea associada é:
Exercícios relacionados
Dada a EDO
determine:
b) Usando o Método dos Coeficientes à determinar, encontre e
(solução particular) da equação diferencial não homogênea . (SÓ A FORMA) (Valor=1,0)
b) Usando o Método dos Coeficientes à determinar, encontre
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
.
A função está definida em
?
Resolva, usando método dos autovalores e autovetores o sistema de