Resolva, usando método dos autovalores e autovetores o sistema de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando o método dos autovalores e autovetores. Basicamente, temos duas equações que descrevem como as variáveis
e
mudam com o tempo. Para resolver isso, vamos precisar montar uma matriz dos coeficientes, encontrar os autovalores e autovetores dessa matriz, e então usar esses valores para construir a solução geral do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o sistema de equações na forma matricial. As equações são:
Podemos escrever isso como:
onde
e
é a matriz dos coeficientes:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores
são encontrados resolvendo o determinante:
Então, calculamos:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos um autovalor duplo:
.
Passo 4
Como temos um autovalor repetido, precisamos encontrar os autovetores associados. Para
, resolvemos:
Subtraindo 3 da diagonal da matriz
:
Isso nos dá a equação:
Podemos escolher
, então o autovetor é:
Passo 5
Como temos um autovalor repetido, precisamos encontrar um autovetor generalizado. Procuramos um vetor
que satisfaça:
Resolvendo:
Isso nos dá as equações:
Simplificando, temos:
Podemos escolher
, então
. Portanto, o vetor generalizado é:
Passo 6
Com os autovalores e autovetores, a solução geral do sistema é:
Substituindo os valores encontrados:
Isso resulta em:
Passo 7
Agora, aplicamos as condições iniciais
e
:
Para
:
Resposta
As soluções do sistema são:
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A função está definida em
?
Dada a EDO
determine:
a) A solução da equação diferencial linear homogênea associada. (Valor=1,0) 114 4
a) A solução da equação diferencial linear homogênea associada. (Valor=1,0) 114 4
Encontre
e
Calcule a derivada das funções: