Resolva, usando método dos autovalores e autovetores o sistema de
equações diferenciais l d xd t=6 x+3 y d yd t=-3 x (Valor=2,0) çõ

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando o método dos autovalores e autovetores. Basicamente, temos duas equações que descrevem como as variáveis e mudam com o tempo. Para resolver isso, vamos precisar montar uma matriz dos coeficientes, encontrar os autovalores e autovetores dessa matriz, e então usar esses valores para construir a solução geral do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o sistema de equações na forma matricial. As equações são:
dxdt = 6x + 3y
dydt = -3x
Podemos escrever isso como:
dXdt = AX
onde x y e A = 6 & 3 -3 & 0 é a matriz dos coeficientes:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores det 6 - lambda & 3 -3 & -lambda = (6 - lambda)(-lambda) - (3)(-3) = -6lambda + lambda^2 + 9 = lambda^2 - 6lambda + 9 = 0 são encontrados resolvendo o determinante:
lambda = 6 pm raiz36 - 362 = 62 = 3
Então, calculamos:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos um autovalor duplo: .

Passo 4

Como temos um autovalor repetido, precisamos encontrar os autovetores associados. Para (A - 3I)v = 0 , resolvemos:
3 & 3 -3 & -3 v1 v2 = 0 0
Subtraindo 3 da diagonal da matriz 3v1 + 3v2 = 0 implies v1 = -v2 :
v = -1 1
Isso nos dá a equação:
Podemos escolher , então o autovetor é:

Passo 5

Como temos um autovalor repetido, precisamos encontrar um autovetor generalizado. Procuramos um vetor (A - 3I)w = v que satisfaça:
3 & 3 -3 & -3 w1 w2 = -1 1
Resolvendo:
3w1 + 3w2 = -1
Isso nos dá as equações:
-3w1 -3w2 = 1
w1 + w2 = -13
Simplificando, temos:
w = 0 -13
Podemos escolher , então . Portanto, o vetor generalizado é:

Passo 6

Com os autovalores e autovetores, a solução geral do sistema é:
X(t) = (C1 + C2 t)e^3t v + C2 e^3t w
Substituindo os valores encontrados:
X(t) = (C1 + C2 t)e^3t -1 1 + C2 e^3t 0 -13
Isso resulta em:
x(t) = - (C1 + C2 t) e^3t
y(t) = (C1 + C2 t) e^3t - 13 C2 e^3t

Passo 7

Agora, aplicamos as condições iniciais x(0) = -C1 = 2 implies C1 = -2 e y(0) = (-2) + C2 cdot 0 - 13 C2 = 0 implies -2 - 13 C2 = 0 implies C2 = -6 :
Para :

Resposta

As soluções do sistema são:
x(t) = (2 + 6t) e^3t
y(t) = (-2 - 6t) e^3t + 2 e^3t = (-6t) e^3t

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