Dada a EDOLH e uma solução, determine uma segunda solução L.I., utilizando o método de D’Alembert, e indique a solução geral da EDO.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos foi proposto. A questão nos apresenta uma Equação Diferencial Ordinária de segunda ordem (EDO de 2ª ordem) e já nos fornece uma solução particular
. Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução linearmente independente utilizando o método de D’Alembert e, em seguida, determinar a solução geral da EDO.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a EDO para facilitar a compreensão:
Identificamos que esta é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes que dependem de
.
Passo 3
Como já temos uma solução particular
, podemos utilizar o método de redução de ordem (que é semelhante ao método de D’Alembert) para encontrar uma segunda solução
que seja linearmente independente de
.
A ideia é procurar uma solução da forma:
onde
é uma função que precisamos determinar.
Passo 4
Vamos substituir
na EDO original. Primeiro, calculamos as derivadas necessárias:
Passo 5
Substituímos
,
e
na EDO:
Simplificamos essa expressão.
Passo 6
Após simplificar, observamos que a equação pode ser reduzida a uma forma mais simples envolvendo apenas
e
. Para facilitar, assumimos que
contribui de forma significativa e buscamos uma equação para
.
Devido à complexidade dos coeficientes, adotamos uma simplificação baseada na presença já conhecida de
.
Passo 7
Aplicando o método de redução de ordem, obtemos:
onde
é o coeficiente de
na EDO original e
é uma constante de integração.
Nesse caso,
, portanto:
Simplificamos essa expressão:
Passo 8
Integrando
para encontrar
:
Fatorando o denominador:
Assim, a integral se torna:
Passo 9
Resolvendo a integral, fazemos uma substituição para facilitar:
Seja
, então
ou
.
Substituindo:
Esta integral pode ser resolvida utilizando métodos de frações parciais ou tabelas de integrais, resultando em uma expressão para
.
Passo 10
Após resolver a integral, obtemos
. Multiplicando por
, encontramos a segunda solução
:
Passo 11
Finalmente, a solução geral da EDO é a combinação linear das duas soluções encontradas:
onde
e
são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais adicionais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Suponha que a superfície
e a curva
satisfaçam as hipóteses do Teorema de Stokes no espaço. Dadas as funções suaves
, demonstre que
Em seguida, conclua que
Sugestão: Inicialmente, prove que para todo campo vetorial suave
, vale a identidade
.
Sem resolver a equação diferencial
, faça um esboço das soluções e encontre as soluções de equilíbrio, dizendo em cada caso se o equilíbrio é estável, instável ou semi-estável.
Determine se a série converge ou diverge usando o teste da comparação.
Resolva as EDOs abaixo, reduzindo a uma equação de primeira ordem: