Dada a EDOLH e uma solução, determine uma segunda solução L.I., utilizando o método de D’Alembert, e indique a solução geral da EDO. (x^3 - x^2) y'' - (7 x^2 - 6 x) y' + (15 x - 12) y = 0 y1(x) = x^3

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos foi proposto. A questão nos apresenta uma Equação Diferencial Ordinária de segunda ordem (EDO de 2ª ordem) e já nos fornece uma solução particular . Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução linearmente independente utilizando o método de D’Alembert e, em seguida, determinar a solução geral da EDO.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a EDO para facilitar a compreensão:
Identificamos que esta é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes que dependem de .

Passo 3

Como já temos uma solução particular , podemos utilizar o método de redução de ordem (que é semelhante ao método de D’Alembert) para encontrar uma segunda solução que seja linearmente independente de .
A ideia é procurar uma solução da forma:
onde é uma função que precisamos determinar.

Passo 4

Vamos substituir na EDO original. Primeiro, calculamos as derivadas necessárias:

Passo 5

Substituímos , e na EDO:
Simplificamos essa expressão.

Passo 6

Após simplificar, observamos que a equação pode ser reduzida a uma forma mais simples envolvendo apenas e . Para facilitar, assumimos que contribui de forma significativa e buscamos uma equação para .
Devido à complexidade dos coeficientes, adotamos uma simplificação baseada na presença já conhecida de .

Passo 7

Aplicando o método de redução de ordem, obtemos:
onde é o coeficiente de na EDO original e é uma constante de integração.
Nesse caso, , portanto:
Simplificamos essa expressão:

Passo 8

Integrando para encontrar :
Fatorando o denominador:
Assim, a integral se torna:

Passo 9

Resolvendo a integral, fazemos uma substituição para facilitar:
Seja , então ou .
Substituindo:
Esta integral pode ser resolvida utilizando métodos de frações parciais ou tabelas de integrais, resultando em uma expressão para .

Passo 10

Após resolver a integral, obtemos . Multiplicando por , encontramos a segunda solução :

Passo 11

Finalmente, a solução geral da EDO é a combinação linear das duas soluções encontradas:
onde e são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais adicionais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
onde e são constantes arbitrárias.

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