Resolva as EDOs abaixo, reduzindo a uma equação de primeira ordem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é um pouco mais complicada. O enunciado é resolver a EDO (Equação Diferencial Ordinária) dada por:
Aqui, a matéria envolvida é Equações Diferenciais, especificamente equações de segunda ordem. Vamos precisar usar técnicas de redução de ordem para simplificar essa equação para uma de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a notação. Vamos chamar a primeira derivada de
de
, ou seja,
. Assim, a segunda derivada
fica
. Substituindo na equação original, temos:
Então, agora temos duas equações:
Isso reduz nossa equação de segunda ordem para um sistema de duas equações de primeira ordem.
Passo 3
Agora, vamos expressar
da segunda equação:
Temos então um sistema de equações:
Passo 4
Para resolver esse sistema, podemos diferenciar a primeira equação em relação a
(supondo que
e
são funções de
):
Mas sabemos que
, então:
Substituindo
:
Isso nos leva de volta à equação original, confirmando que nossas substituições estão corretas.
Passo 5
Infelizmente, essa equação diferencial não possui uma solução simples em termos de funções elementares. No entanto, podemos resolver numericamente ou buscar soluções por séries.
Como o enunciado pede apenas para reduzir a uma equação de primeira ordem, já conseguimos fazer isso com o sistema de equações acima.
Resposta
A equação diferencial original foi reduzida para o sistema de equações de primeira ordem:
Exercícios relacionados
Determine se a série converge ou diverge usando o teste da comparação.
Dada a EDOLH e uma solução, determine uma segunda solução L.I., utilizando o método de D’Alembert, e indique a solução geral da EDO.
Resolva as EDOs abaixo, reduzindo a uma equação de primeira ordem:
Resolva as EDOs abaixo, reduzindo a uma equação de primeira ordem: