Resolva as EDOs abaixo, reduzindo a uma equação de primeira ordem:
y'' + (y')^2 = y, y(0) = 3/2, y'(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é um pouco mais complicada. O enunciado é resolver a EDO (Equação Diferencial Ordinária) dada por:
Aqui, a matéria envolvida é Equações Diferenciais, especificamente equações de segunda ordem. Vamos precisar usar técnicas de redução de ordem para simplificar essa equação para uma de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a notação. Vamos chamar a primeira derivada de de , ou seja, . Assim, a segunda derivada fica . Substituindo na equação original, temos:
Então, agora temos duas equações:
Isso reduz nossa equação de segunda ordem para um sistema de duas equações de primeira ordem.

Passo 3

Agora, vamos expressar da segunda equação:
Temos então um sistema de equações:

Passo 4

Para resolver esse sistema, podemos diferenciar a primeira equação em relação a (supondo que e são funções de ):
Mas sabemos que , então:
Substituindo :
Isso nos leva de volta à equação original, confirmando que nossas substituições estão corretas.

Passo 5

Infelizmente, essa equação diferencial não possui uma solução simples em termos de funções elementares. No entanto, podemos resolver numericamente ou buscar soluções por séries.
Como o enunciado pede apenas para reduzir a uma equação de primeira ordem, já conseguimos fazer isso com o sistema de equações acima.

Resposta

A equação diferencial original foi reduzida para o sistema de equações de primeira ordem:

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