Determine se a série converge ou diverge usando o teste da comparação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a série
converge ou diverge utilizando o teste da comparação. Para isso, precisamos entender um pouco sobre séries infinitas e como comparamos termos delas para ver se somam até um número finito (convergem) ou não (divergem).
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos da série:
Sabemos que a função seno,
, sempre tem valores entre -1 e 1. Então,
vai variar entre 0 e 2. Portanto:
Isso nos dá uma faixa para comparar com outra série.
Passo 3
Agora, vamos comparar com a série geométrica:
As séries geométricas são do tipo
, e elas convergem se a razão
satisfaz
. Aqui,
, que claramente é menor que 1. Além disso, o fator 2 só multiplica a série, não afetando a convergência.
Passo 4
Como estabelecemos que:
e sabemos que a série comparativa
converge, pelo teste da comparação, podemos concluir que a nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge.