Determine se a série converge ou diverge usando o teste da comparação.
sumn=1^infty 1+sen(n)10^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a série
sumn=1^infty 1+sen(n)10^n
converge ou diverge utilizando o teste da comparação. Para isso, precisamos entender um pouco sobre séries infinitas e como comparamos termos delas para ver se somam até um número finito (convergem) ou não (divergem).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos da série:
1 + sen(n)10^n
Sabemos que a função seno, 0 <= 1 + sen(n)10^n <= 210^n , sempre tem valores entre -1 e 1. Então, vai variar entre 0 e 2. Portanto:
Isso nos dá uma faixa para comparar com outra série.

Passo 3

Agora, vamos comparar com a série geométrica:
sumn=1^infty 210^n
As séries geométricas são do tipo , e elas convergem se a razão satisfaz . Aqui, , que claramente é menor que 1. Além disso, o fator 2 só multiplica a série, não afetando a convergência.

Passo 4

Como estabelecemos que:
0 <= 1 + sen(n)10^n <= 210^n
e sabemos que a série comparativa converge, pelo teste da comparação, podemos concluir que a nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

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