Suponha que a superfície S e a curva gamma=partial S satisfaçam as hipóteses do Teorema de Stokes no espaço. Dadas as funções suaves f, g: R^3 R, demonstre que
integralgamma(f cdot nabla g) d gamma=integral duplaS(nabla f times nabla g) d S
Em seguida, conclua que
integralgamma(f cdot nabla f) d gamma=integralgamma(f cdot nabla g+g cdot nabla f) d gamma=0
Sugestão: Inicialmente, prove que para todo campo vetorial suave F, vale a identidade rot(f cdot F)=f cdot rot(F)+(nabla f) times F.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teorema de Stokes, que conecta integrais de linha com integrais de superfície envolvendo campos vetoriais. A gente tem duas funções suaves e definidas no espaço tridimensional, e precisa provar uma igualdade envolvendo integrais sobre uma curva e sobre uma superfície que tem como fronteira. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como gradiente ( ), rotacional ( ), e como aplicar o Teorema de Stokes.

Passo 2

Primeiro, vamos seguir a sugestão e provar a identidade para todo campo vetorial suave rot(f cdot F) = f cdot rot(F) + (nabla f) times F :
Aqui, representa o rotacional (ou curl) do campo vetorial. Essa identidade nos ajuda a relacionar o rotacional de um produto escalar com o produto escalar do rotacional e o produto vetorial do gradiente.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de rot(f cdot F) = nabla times (fF) . Usando a definição de rotacional em coordenadas, temos:
nabla times (fF) = f (nabla times F) + (nabla f) times F
Aplicando a regra do produto para o rotacional, que é similar à regra do produto para derivadas, obtemos:
rot(f cdot F) = f cdot rot(F) + (nabla f) times F
Isso confirma a identidade que queríamos provar:

Passo 4

Agora que temos essa identidade, vamos aplicá-la ao nosso problema original. Queremos demonstrar que:
integralgamma (f cdot nabla g) , dgamma = integral duplaS (nabla f times nabla g) , dS
Para isso, vamos escolher o campo vetorial rot(f cdot nabla g) = f cdot rot(nabla g) + (nabla f) times nabla g . Assim, a identidade fica:
rot(nabla g) = 0
Sabemos que o rotacional do gradiente de qualquer função suave é zero, ou seja:
rot(f cdot nabla g) = (nabla f) times nabla g
Portanto, a identidade simplifica para:

Passo 5

Aplicando o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um rotacional sobre a curva integralgamma (f cdot nabla g) , dgamma = integral duplaS rot(f cdot nabla g) , dS com a integral de superfície sobre integralgamma (f cdot nabla g) , dgamma = integral duplaS (nabla f times nabla g) , dS , temos:
Substituindo pela nossa identidade comprovada:
Isso prova a primeira parte do enunciado.

Passo 6

Para a segunda parte, precisamos concluir que:
integralgamma (f cdot nabla f) , dgamma = integralgamma (f cdot nabla g + g cdot nabla f) , dgamma = 0
Vamos começar observando que:
f cdot nabla f = 12 nabla (f^2)
E de maneira similar:
f cdot nabla g + g cdot nabla f = nabla (f g)
Note que e são gradientes de funções escalares.

Passo 7

Aplicando o Teorema de Stokes novamente, mas agora para o rotacional desses gradientes, temos:
integralgamma nabla (f^2) , dgamma = integral duplaS rot(nabla (f^2)) , dS = 0
E da mesma forma:
integralgamma nabla (fg) , dgamma = integral duplaS rot(nabla (fg)) , dS = 0
Isso porque o rotacional do gradiente de qualquer função suave é sempre zero.

Resposta

Portanto, concluímos que:
integralgamma (f cdot nabla f) , dgamma = integralgamma (f cdot nabla g + g cdot nabla f) , dgamma = 0

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