Suponha que a superfície
e a curva
satisfaçam as hipóteses do Teorema de Stokes no espaço. Dadas as funções suaves
, demonstre que
Em seguida, conclua que
Sugestão: Inicialmente, prove que para todo campo vetorial suave
, vale a identidade
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teorema de Stokes, que conecta integrais de linha com integrais de superfície envolvendo campos vetoriais. A gente tem duas funções suaves
e
definidas no espaço tridimensional, e precisa provar uma igualdade envolvendo integrais sobre uma curva
e sobre uma superfície
que tem
como fronteira. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como gradiente (
), rotacional (
), e como aplicar o Teorema de Stokes.
Passo 2
Primeiro, vamos seguir a sugestão e provar a identidade para todo campo vetorial suave
:
Aqui,
representa o rotacional (ou curl) do campo vetorial. Essa identidade nos ajuda a relacionar o rotacional de um produto escalar com o produto escalar do rotacional e o produto vetorial do gradiente.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. Usando a definição de rotacional em coordenadas, temos:
Aplicando a regra do produto para o rotacional, que é similar à regra do produto para derivadas, obtemos:
Isso confirma a identidade que queríamos provar:
Passo 4
Agora que temos essa identidade, vamos aplicá-la ao nosso problema original. Queremos demonstrar que:
Para isso, vamos escolher o campo vetorial
. Assim, a identidade fica:
Sabemos que o rotacional do gradiente de qualquer função suave é zero, ou seja:
Portanto, a identidade simplifica para:
Passo 5
Aplicando o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um rotacional sobre a curva
com a integral de superfície sobre
, temos:
Substituindo pela nossa identidade comprovada:
Isso prova a primeira parte do enunciado.
Passo 6
Para a segunda parte, precisamos concluir que:
Vamos começar observando que:
E de maneira similar:
Note que
e
são gradientes de funções escalares.
Passo 7
Aplicando o Teorema de Stokes novamente, mas agora para o rotacional desses gradientes, temos:
E da mesma forma:
Isso porque o rotacional do gradiente de qualquer função suave é sempre zero.
Resposta
Portanto, concluímos que:
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e
.
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quando
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