Dada a elipse de equação x^2+4 y^2+2 x-24 y+33=0, determine os seguintes itens:
c) as equações dos eixos focal e normal;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as equações dos eixos focal e normal da elipse dada pela equação . Para isso, vamos trabalhar com a equação geral da elipse e transformar ela para a forma padrão, onde fica mais fácil identificar os eixos. Vamos precisar completar o quadrado para as variáveis e .

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de x^2 + 2x + 4y^2 - 24y = -33 e :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para a parte de x^2 + 2x . Pegamos os coeficientes de x^2 + 2x + 1 - 1 = (x + 1)^2 - 1 :
Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos :

Passo 4

Fazemos o mesmo para a parte de 4y^2 - 24y = 4(y^2 - 6y) . Primeiro, fatoramos o coeficiente de 4(y^2 - 6y + 9 - 9) = 4((y - 3)^2 - 9) = 4(y - 3)^2 - 36 , que é 4:
Para completar o quadrado dentro do parênteses, adicionamos e subtraímos :

Passo 5

Substituindo as partes completas na equação original:
(x + 1)^2 - 1 + 4(y - 3)^2 - 36 = -33
Simplificando:
(x + 1)^2 + 4(y - 3)^2 - 37 = -33
(x + 1)^2 + 4(y - 3)^2 = 4

Passo 6

Para deixar a equação na forma padrão da elipse, dividimos todos os termos por 4:
(x + 1)^24 + (y - 3)^21 = 1
Agora, temos a equação no formato:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Onde é o centro da elipse, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor.

Passo 7

Identificando os parâmetros:
h = -1, k = 3, a^2 = 4 Rightarrow a = 2, b^2 = 1 Rightarrow b = 1
Isso significa que o centro da elipse está em , o semi-eixo maior tem comprimento 2 e o semi-eixo menor tem comprimento 1.

Passo 8

Como , o eixo maior está na direção do eixo . Portanto:
  • Eixo maior (focal): Paralele ao eixo , passando pelo centro.
  • Eixo menor (normal): Paralele ao eixo , passando pelo centro.

Passo 9

Agora, vamos escrever as equações dos eixos:
  • Eixo focal (maior): Como é horizontal e passa pelo centro y = 3 , a equação é:
x = -1
  • Eixo normal (menor): Como é vertical e passa pelo centro , a equação é:

Resposta

As equações dos eixos focal e normal da elipse são:
y = 3 e x = -1

Exercícios relacionados