Dada a elipse de equação
, determine os seguintes itens:
c) as equações dos eixos focal e normal;
c) as equações dos eixos focal e normal;
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as equações dos eixos focal e normal da elipse dada pela equação
. Para isso, vamos trabalhar com a equação geral da elipse e transformar ela para a forma padrão, onde fica mais fácil identificar os eixos. Vamos precisar completar o quadrado para as variáveis
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de
e
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para a parte de
. Pegamos os coeficientes de
:
Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos
:
Passo 4
Fazemos o mesmo para a parte de
. Primeiro, fatoramos o coeficiente de
, que é 4:
Para completar o quadrado dentro do parênteses, adicionamos e subtraímos
:
Passo 5
Substituindo as partes completas na equação original:
Simplificando:
Passo 6
Para deixar a equação na forma padrão da elipse, dividimos todos os termos por 4:
Agora, temos a equação no formato:
Onde
é o centro da elipse,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor.
Passo 7
Identificando os parâmetros:
Isso significa que o centro da elipse está em
, o semi-eixo maior tem comprimento 2 e o semi-eixo menor tem comprimento 1.
Passo 8
Como
, o eixo maior está na direção do eixo
. Portanto:
- Eixo maior (focal): Paralele ao eixo
, passando pelo centro. - Eixo menor (normal): Paralele ao eixo
, passando pelo centro.
Passo 9
Agora, vamos escrever as equações dos eixos:
- Eixo focal (maior): Como é horizontal e passa pelo centro
, a equação é:
- Eixo normal (menor): Como é vertical e passa pelo centro
, a equação é:
Resposta
As equações dos eixos focal e normal da elipse são: