Em cada um dos seguintes itens, a partir dos elementos dados, determine a equação da hipérbole:
e) eixo normal e.n : y=2, uma das assíntotas r: 2 x-y-4=0 e comprimento do Latus Rectum igual a 3 .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole usando três informações:
  1. O eixo normal é a reta .
  2. Uma das assíntotas é a reta .
  3. O comprimento do Latus Rectum (que é uma medida importante na hipérbole) é igual a 3.
Para resolver isso, vamos precisar saber um pouquinho sobre as propriedades das hipérboles, como suas assíntotas, centro, e como calcular o Latus Rectum.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. O eixo normal sugere que o centro está nessa linha. Assim, podemos assumir que o centro da hipérbole tem coordenada . Mas falta a coordenada . Para achar isso, vamos usar a informação da assíntota.

Passo 3

A equação da assíntota dada é y = 2x - 4 . Vamos rearranjar ela para a forma para identificar a inclinação :
Então, a inclinação da assíntota é 2. Sabemos que para uma hipérbole, as assíntotas têm inclinações , onde é a distância do centro aos vértices e está relacionado à abertura da hipérbole.

Passo 4

Agora, vamos supor que a hipérbole está centrada no ponto C = (0, 2) . Como o eixo normal é , o centro tem coordenada . Vamos assumir que para simplificar (se não for, a hipérbole pode ser transladada, mas aqui vamos seguir com ):

Passo 5

Sabemos que a inclinação da assíntota é b = 2a . Então, podemos escrever:

Passo 6

O comprimento do Latus Rectum para uma hipérbole é dado por:
L = 2b^2a
Sabemos que 3 = 2(2a)^2a e que 3 = 2 cdot 4a^2a . Vamos substituir:
3 = 8a^2a
3 = 8a
a = 38

Passo 7

Agora que temos b = 2a = 2 cdot 38 = 34 , podemos encontrar :

Passo 8

A equação padrão de uma hipérbole com centro em (y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1 e assíntotas com inclinação (y - 2)^2(38)^2 - x^2(34)^2 = 1 é:
Substituindo , , e :

Passo 9

Vamos simplificar os denominadores:
(38)^2 = 964
(34)^2 = 916
Então, a equação fica:
(y - 2)^2964 - x^2916 = 1
Podemos multiplicar numerador e denominador para simplificar:
64(y - 2)^29 - 16x^29 = 1
Multiplicando ambos os lados por 9:
64(y - 2)^2 - 16x^2 = 9

Resposta

A equação da hipérbole é:
64(y - 2)^2 - 16x^2 = 9

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