Em cada um dos seguintes itens, a partir dos elementos dados, determine a equação da hipérbole:
e) eixo normal e.n :
, uma das assíntotas
e comprimento do Latus Rectum igual a 3 .
e) eixo normal e.n :
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole usando três informações:
- O eixo normal é a reta
. - Uma das assíntotas é a reta
. - O comprimento do Latus Rectum (que é uma medida importante na hipérbole) é igual a 3.
Para resolver isso, vamos precisar saber um pouquinho sobre as propriedades das hipérboles, como suas assíntotas, centro, e como calcular o Latus Rectum.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. O eixo normal
sugere que o centro está nessa linha. Assim, podemos assumir que o centro
da hipérbole tem coordenada
. Mas falta a coordenada
. Para achar isso, vamos usar a informação da assíntota.
Passo 3
A equação da assíntota dada é
. Vamos rearranjar ela para a forma
para identificar a inclinação
:
Então, a inclinação da assíntota é 2. Sabemos que para uma hipérbole, as assíntotas têm inclinações
, onde
é a distância do centro aos vértices e
está relacionado à abertura da hipérbole.
Passo 4
Agora, vamos supor que a hipérbole está centrada no ponto
. Como o eixo normal é
, o centro tem coordenada
. Vamos assumir que
para simplificar (se não for, a hipérbole pode ser transladada, mas aqui vamos seguir com
):
Passo 5
Sabemos que a inclinação da assíntota é
. Então, podemos escrever:
Passo 6
O comprimento do Latus Rectum para uma hipérbole é dado por:
Sabemos que
e que
. Vamos substituir:
Passo 7
Agora que temos
, podemos encontrar
:
Passo 8
A equação padrão de uma hipérbole com centro em
e assíntotas com inclinação
é:
Substituindo
,
,
e
:
Passo 9
Vamos simplificar os denominadores:
Então, a equação fica:
Podemos multiplicar numerador e denominador para simplificar:
Multiplicando ambos os lados por 9:
Resposta
A equação da hipérbole é: