Determine para que valores de k os vetores de R^3 abaixo são L.I. ou L.D.
u=(-1,0,7), v=(-4,5,-3 k), w=(0,4,-2) e z=(2 k, 3,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir para quais valores de os vetores , , e são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.). Isso se encaixa no conteúdo de álgebra linear, especificamente no estudo de independência linear de vetores. Vamos precisar usar conceitos de determinantes e combinação linear para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Basicamente, se não existe nenhuma combinação linear dos vetores que dê o vetor zero, exceto se todos os coeficientes forem zero, então os vetores são L.I. Caso contrário, são L.D. Em termos matemáticos, queremos ver se a única solução para é .

Passo 3

Como estamos trabalhando em e temos 4 vetores, já sabemos que eles não podem ser todos lineares independentes, pois o máximo de vetores independentes em é 3. Então, nossa tarefa é identificar para quais valores de esses vetores se tornam dependentes de uma forma específica.

Passo 4

Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes; se for diferente de zero, são independentes. Porém, já que temos 4 vetores em , precisamos ajustar isso. Na verdade, podemos analisar combinações de 3 vetores e ver quando o quarto pode ser escrito como combinação dos outros.

Passo 5

Vamos por exemplo tentar expressar 2k = -a -4b + 0c 3 = 0a + 5b + 4c 1 = 7a -3k b -2c como combinação linear dos outros três vetores: . Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , , em função de . Se conseguirmos soluções diferentes de zero para , , , isso significa que pode ser escrito como combinação dos outros vetores, indicando dependência linear.

Passo 7

Da primeira equação:
2k = -a - 4b implies a = -2k -4b
Substituímos 1 = 7(-2k -4b) -3k b -2c 1 = -14k -28b -3k b -2c na terceira equação:
3 = 5b + 4c 1 = -14k -28b -3k b -2c
Agora, temos duas equações com e :

Passo 8

Vamos resolver o sistema. Da segunda equação:
1 = -14k -28b -3k b -2c
Ainda temos:
3 = 5b + 4c implies c = 3 - 5b4
Substituindo 1 = -14k -28b -3k b -2(3 - 5b4) 1 = -14k -28b -3k b -6 -10b4 Mu na equação anterior:

Passo 9

Essa equação está complicada, mas queremos encontrar valores de -56k -102b -12k b = 10 para os quais existe uma solução não trivial para -102b -12k b = 10 + 56k b(-102 -12k) = 10 + 56k b = 10 + 56k-102 -12k = 10 + 56k-6(17 + 2k) . Vamos reorganizar:
Podemos tentar isolar :

Passo 10

Agora, temos uma expressão para -102 -12k ne 0 implies -12k ne 102 implies k ne -10212 = -8.5 . Vamos lembrar que para existir uma solução, o denominador não pode ser zero:
Portanto, para , temos uma solução para , o que indica que os vetores são linearmente dependentes.

Passo 11

O que acontece quando ? Nesse caso, o denominador da expressão para se torna zero, o que implica que a equação não pode ser satisfeita, pois teríamos uma implicação inconsistente. Isso significa que, para , os vetores não são linearmente dependentes dessa forma específica.

Resposta

Portanto, os vetores , , e são linearmente dependentes para todo valor de , exceto quando . Assim:
  • Linearmente Dependentes (L.D.) para todo
  • Linearmente Independentes (L.I.) quando

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