Dada a elipse de equação
, encontre uma equação para a circunferência inscrita nela e uma equação para a circunferência circunscrita a ela.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação de uma elipse:
. Nosso objetivo é encontrar duas circunferências: uma que está inscrita dentro dessa elipse e outra que circunda a elipse. Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, como completar o quadrado para transformar a equação da elipse na sua forma padrão. Com isso, conseguiremos identificar o centro e os eixos da elipse, e, a partir daí, determinar as circunferências que precisamos.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação da elipse agrupando os termos de
e
separados:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e
. Começamos com os termos de
:
Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de
, que é 6, dividimos por 2, ficando 3, e depois elevamos ao quadrado, obtendo 9. Então:
Passo 4
Fazemos o mesmo para os termos de
:
Metade do coeficiente de
é 4, dividindo por 2 dá 2, e elevando ao quadrado, 4. Então:
Passo 5
Substituímos de volta na equação original:
Simplificamos os termos constantes:
Adicionamos 97 em ambos os lados:
Passo 6
Dividimos toda a equação por 36 para obter a forma padrão da elipse:
Passo 7
Agora, identificamos os parâmetros da elipse na forma padrão
:
- Centro
: -
então -
então
Passo 8
Para encontrar a circunferência inscrita, que é um círculo totalmente dentro da elipse tocando-a nos pontos mais estreitos, usamos o menor raio entre
e
. Neste caso,
.
A circunferência inscrita terá o mesmo centro da elipse
e raio
. A equação é:
Passo 9
Para a circunferência circunscrita, que é um círculo que envolve toda a elipse tocando-a nos pontos mais largos, usamos o maior raio entre
e
. Aqui,
.
A circunferência circunscrita também tem centro
e raio
. A equação é:
Resposta
A circunferência inscrita é
e a circunferência circunscrita é
.