Dada a elipse de equação 9 x^2+4 y^2+54 x-16 y+61=0, encontre uma equação para a circunferência inscrita nela e uma equação para a circunferência circunscrita a ela.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação de uma elipse: . Nosso objetivo é encontrar duas circunferências: uma que está inscrita dentro dessa elipse e outra que circunda a elipse. Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, como completar o quadrado para transformar a equação da elipse na sua forma padrão. Com isso, conseguiremos identificar o centro e os eixos da elipse, e, a partir daí, determinar as circunferências que precisamos.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação da elipse agrupando os termos de 9x^2 + 54x + 4y^2 - 16y = -61 e separados:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 9x^2 + 54x = 9(x^2 + 6x) e 9(x^2 + 6x + 9 - 9) = 9[(x + 3)^2 - 9] = 9(x + 3)^2 - 81 . Começamos com os termos de :
Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de , que é 6, dividimos por 2, ficando 3, e depois elevamos ao quadrado, obtendo 9. Então:

Passo 4

Fazemos o mesmo para os termos de 4y^2 - 16y = 4(y^2 - 4y) :
4(y^2 - 4y + 4 - 4) = 4[(y - 2)^2 - 4] = 4(y - 2)^2 - 16
Metade do coeficiente de é 4, dividindo por 2 dá 2, e elevando ao quadrado, 4. Então:

Passo 5

Substituímos de volta na equação original:
9(x + 3)^2 - 81 + 4(y - 2)^2 - 16 = -61
Simplificamos os termos constantes:
9(x + 3)^2 + 4(y - 2)^2 - 97 = -61
Adicionamos 97 em ambos os lados:
9(x + 3)^2 + 4(y - 2)^2 = 36

Passo 6

Dividimos toda a equação por 36 para obter a forma padrão da elipse:
(x + 3)^24 + (y - 2)^29 = 1

Passo 7

Agora, identificamos os parâmetros da elipse na forma padrão :
  • Centro :
  • então
  • então

Passo 8

Para encontrar a circunferência inscrita, que é um círculo totalmente dentro da elipse tocando-a nos pontos mais estreitos, usamos o menor raio entre (x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 4 e . Neste caso, .
A circunferência inscrita terá o mesmo centro da elipse e raio . A equação é:

Passo 9

Para a circunferência circunscrita, que é um círculo que envolve toda a elipse tocando-a nos pontos mais largos, usamos o maior raio entre (x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 9 e . Aqui, .
A circunferência circunscrita também tem centro e raio . A equação é:

Resposta

A circunferência inscrita é e a circunferência circunscrita é .

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