Mostre que (1,1,1),(0,1,1),(0,1,-1) geram o R^3. O que isto significa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que os vetores , e geram o . Isso significa que qualquer vetor em pode ser construído como uma combinação linear desses três vetores. Para provar isso, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes e se formam uma base para . Vamos precisar entender um pouco de álgebra linear, como resolução de sistemas lineares e determinantes.

Passo 2

Primeiro, organizamos os vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna:
A = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 1 & 1 & -1
Queremos verificar se essa matriz tem posto 3, ou seja, se ela é invertível. Uma maneira de fazer isso é calcular o determinante da matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, geram .

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz det(A) = 1 cdot (1 cdot (-1) - 1 cdot 1) - 0 cdot (1 cdot (-1) - 1 cdot 1) + 0 cdot (1 cdot 1 - 1 cdot 1) :
det(A) = 1 cdot (-1 - 1) - 0 + 0 = 1 cdot (-2) = -2
Simplificando:

Passo 4

Como o determinante é diferente de zero, isso nos diz que a matriz é invertível. Portanto, os vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço .

Resposta

Os vetores , e são linearmente independentes e, por isso, geram todo o espaço . Isso significa que qualquer vetor em pode ser expresso como uma combinação linear desses três vetores.

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