Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que os vetores , e geram o . Isso significa que qualquer vetor em pode ser construído como uma combinação linear desses três vetores. Para provar isso, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes e se formam uma base para . Vamos precisar entender um pouco de álgebra linear, como resolução de sistemas lineares e determinantes.
Passo 2
Primeiro, organizamos os vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna:
Queremos verificar se essa matriz tem posto 3, ou seja, se ela é invertível. Uma maneira de fazer isso é calcular o determinante da matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, geram .
Como o determinante é diferente de zero, isso nos diz que a matriz é invertível. Portanto, os vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço .
Resposta
Os vetores , e são linearmente independentes e, por isso, geram todo o espaço . Isso significa que qualquer vetor em pode ser expresso como uma combinação linear desses três vetores.