Determine a equação da elipse de excentricidade igual a
e com eixo maior coincidente com o Latus Rectum da parábola de equação
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para determinar a equação de uma elipse que tem uma excentricidade igual a
e cujo eixo maior está alinhado com o Latus Rectum de uma parábola dada pela equação
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de parábolas e elipses, especialmente sobre excentricidade, e entender o que é o Latus Rectum.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parábola
. Para facilitar, vamos completar o quadrado na variável
:
Essa é a forma padrão de uma parábola
, onde o vértice é
e
é a distância do vértice ao foco. Comparando, temos
,
e
, então
.
Passo 3
O foco da parábola está a uma distância
do vértice na direção do eixo da parábola. Como a parábola está aberta para a direita (coeficiente de
positivo), o foco fica a
unidades à direita do vértice:
Passo 4
O Latus Rectum é a corda da parábola que passa pelo foco e é perpendicular ao eixo da parábola. O comprimento do Latus Rectum é igual a
, que nesse caso é
. Como o eixo da parábola é horizontal, o Latus Rectum também será horizontal e passa pelo ponto
. Portanto, as extremidades do Latus Rectum são:
Passo 5
Agora, sabemos que o eixo maior da elipse deve estar alinhado com o Latus Rectum da parábola, ou seja, será horizontal. A excentricidade da elipse
. Lembremos que a excentricidade está relacionada com os eixos da elipse pela fórmula:
Onde
é a distância do centro ao foco da elipse e
é o semi-eixo maior.
Passo 6
Precisamos determinar o centro da elipse. Como o eixo maior está alinhado com o Latus Rectum da parábola, que vai de
a
, o centro da elipse será o ponto médio desse segmento:
Passo 7
O comprimento do eixo maior da elipse será o mesmo que o comprimento do Latus Rectum da parábola, que é
. Então, o semi-eixo maior
.
Passo 8
Sabemos que
e
. Podemos encontrar
:
Passo 9
Com
e
encontrados, podemos achar o semi-eixo menor
usando a relação:
Passo 10
Agora, temos todos os parâmetros necessários para escrever a equação da elipse. Como o eixo maior é horizontal e o centro é
, a equação padrão da elipse é:
Substituindo
e
:
Resposta
A equação da elipse é: