Determine a equação da elipse de excentricidade igual a raiz32 e com eixo maior coincidente com o Latus Rectum da parábola de equação y^2-4 y-8 x+28=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para determinar a equação de uma elipse que tem uma excentricidade igual a e cujo eixo maior está alinhado com o Latus Rectum de uma parábola dada pela equação . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de parábolas e elipses, especialmente sobre excentricidade, e entender o que é o Latus Rectum.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parábola y^2 - 4y = 8x - 28 . Para facilitar, vamos completar o quadrado na variável (y^2 - 4y + 4) = 8x - 28 + 4 :
(y - 2)^2 = 8x - 24
(y - 2)^2 = 8(x - 3)
Essa é a forma padrão de uma parábola , onde o vértice é e é a distância do vértice ao foco. Comparando, temos , e , então .

Passo 3

O foco da parábola está a uma distância Foco = (3 + 2, 2) = (5, 2) do vértice na direção do eixo da parábola. Como a parábola está aberta para a direita (coeficiente de positivo), o foco fica a unidades à direita do vértice:

Passo 4

O Latus Rectum é a corda da parábola que passa pelo foco e é perpendicular ao eixo da parábola. O comprimento do Latus Rectum é igual a (5, 2 + 4) = (5, 6) e (5, 2 - 4) = (5, -2) , que nesse caso é . Como o eixo da parábola é horizontal, o Latus Rectum também será horizontal e passa pelo ponto . Portanto, as extremidades do Latus Rectum são:

Passo 5

Agora, sabemos que o eixo maior da elipse deve estar alinhado com o Latus Rectum da parábola, ou seja, será horizontal. A excentricidade da elipse e = ca . Lembremos que a excentricidade está relacionada com os eixos da elipse pela fórmula:
Onde é a distância do centro ao foco da elipse e é o semi-eixo maior.

Passo 6

Precisamos determinar o centro da elipse. Como o eixo maior está alinhado com o Latus Rectum da parábola, que vai de Centro = (5, -2 + 62) = (5, 2) a , o centro da elipse será o ponto médio desse segmento:

Passo 7

O comprimento do eixo maior da elipse será o mesmo que o comprimento do Latus Rectum da parábola, que é . Então, o semi-eixo maior .

Passo 8

Sabemos que raiz32 = c4 implies c = 4 times raiz32 = 2raiz3 e . Podemos encontrar :

Passo 9

Com c^2 = a^2 - b^2 implies b^2 = a^2 - c^2 = 16 - (2raiz3)^2 = 16 - 12 = 4 e b = 2 encontrados, podemos achar o semi-eixo menor usando a relação:

Passo 10

Agora, temos todos os parâmetros necessários para escrever a equação da elipse. Como o eixo maior é horizontal e o centro é (x - 5)^2a^2 + (y - 2)^2b^2 = 1 , a equação padrão da elipse é:
(x - 5)^216 + (y - 2)^24 = 1
Substituindo e :

Resposta

A equação da elipse é:
(x - 5)^216 + (y - 2)^24 = 1

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