Prove que
(a) (-1) v=-v.
(b) 2 v=v+v.
© Se alpha v=0 então alpha=0 ou v=0.
(d) Se alpha u=alpha v e alpha neq 0 então u=v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial! A gente precisa provar quatro propriedades envolvendo vetores e escalares. Para isso, vamos usar as definições básicas de operações com vetores, como multiplicação por escalar e adição vetorial. Vamos passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Queremos provar que (-1) v = -v.
Primeiro, lembre que multiplicar um vetor por -1 inverte sua direção. Ou seja, se v aponta para um lado, - v aponta exatamente na direção oposta com o mesmo tamanho. Matemáticamente, isso significa que multiplicar por -1 gera o vetor oposto.

Passo 3

Parte (b): Precisamos mostrar que 2 v = v + v.
Multiplicar um vetor por 2 significa somar o vetor com ele mesmo. Então, 2 v é o mesmo que v mais v. Isso está de acordo com a definição de multiplicação por escalar em álgebra vetorial.

Passo 4

Parte ©: Devemos provar que se alpha v = 0, então ou alpha = 0 ou v = 0.
Se o produto de um escalar alpha com um vetor v resulta no vetor nulo, isso significa que ou o escalar é zero (e qualquer vetor multiplicado por zero dá o vetor nulo), ou o vetor v já é o vetor nulo. Não tem outra possibilidade para que o produto dê o vetor nulo.

Passo 5

Parte (d): Temos que mostrar que se alpha u = alpha v e alpha neq 0, então u = v.
Se multiplicarmos dois vetores diferentes pelo mesmo escalar não zero e o resultado for igual, isso só pode acontecer se os vetores originais eram iguais. Como alpha não é zero, podemos dividir ambos os lados por alpha e concluir que u = v.

Resposta

(a) (-1) v = -v.
(b) 2 v = v + v.
© Se alpha v = 0, então alpha = 0 ou v = 0.
(d) Se alpha u = alpha v e alpha neq 0, então u = v.

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