Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial! A gente precisa provar quatro propriedades envolvendo vetores e escalares. Para isso, vamos usar as definições básicas de operações com vetores, como multiplicação por escalar e adição vetorial. Vamos passo a passo!
Passo 2
Parte (a): Queremos provar que (-1) v = -v.
Primeiro, lembre que multiplicar um vetor por -1 inverte sua direção. Ou seja, se v aponta para um lado, - v aponta exatamente na direção oposta com o mesmo tamanho. Matemáticamente, isso significa que multiplicar por -1 gera o vetor oposto.
Passo 3
Parte (b): Precisamos mostrar que 2 v = v + v.
Multiplicar um vetor por 2 significa somar o vetor com ele mesmo. Então, 2 v é o mesmo que v mais v. Isso está de acordo com a definição de multiplicação por escalar em álgebra vetorial.
Se o produto de um escalar alpha com um vetor v resulta no vetor nulo, isso significa que ou o escalar é zero (e qualquer vetor multiplicado por zero dá o vetor nulo), ou o vetor v já é o vetor nulo. Não tem outra possibilidade para que o produto dê o vetor nulo.
Passo 5
Parte (d): Temos que mostrar que se alpha u = alpha v e alpha neq 0, então u = v.
Se multiplicarmos dois vetores diferentes pelo mesmo escalar não zero e o resultado for igual, isso só pode acontecer se os vetores originais eram iguais. Como alpha não é zero, podemos dividir ambos os lados por alpha e concluir que u = v.