Dada uma equação de Cauchy-Euler: 2 x^2 y^prime prime(x)+5 x y^prime(x)+y(x)=1 / x. Ache a solução do problema de valor inicial: y(1)=1, y^prime(1)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação de Cauchy-Euler, que é um tipo especial de equação diferencial. Nosso objetivo é achar a função 2x^2 y''(x) + 5x y'(x) + y(x) = 1x que satisfaz a equação:
Além disso, temos condições iniciais que dizem que quando , e . Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações de Cauchy-Euler e encontrar soluções gerais e particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, sem o lado direito:
2x^2 y''(x) + 5x y'(x) + y(x) = 0
Para isso, fazemos a substituição típica para equações de Cauchy-Euler: suponha que y'(x) = m x^m-1 . Derivando, temos:
y''(x) = m(m-1) x^m-2
2x^2 cdot m(m-1)x^m-2 + 5x cdot m x^m-1 + x^m = 0
Agora, substituímos na equação homogênea:
2m(m-1)x^m + 5m x^m + x^m = 0
Simplificando:
x^m [2m(m-1) + 5m + 1] = 0
Fatorando 2m^2 - 2m + 5m + 1 = 0 :
2m^2 + 3m + 1 = 0
Como ≠ 0, temos a equação característica:

Passo 3

Vamos resolver a equação característica:
2m^2 + 3m + 1 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
m = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, De, m = -3 pm raiz14 , e m = -3 pm 14 .
Calculando o discriminante:
m1 = -3 + 14 = -12
Então,
m2 = -3 - 14 = -1
Isso nos dá duas raízes:

Passo 4

Com as raízes yh(x) = C1 x^m1 + C2 x^m2 e yh(x) = C1 x^-1/2 + C2 x^-1 , a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar mais tarde com as condições iniciais.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( 2x^2 y''(x) + 5x y'(x) + y(x) = 1x ) para a equação completa:
yp(x) = A x^-1 ln x
Observando o lado direito, que é , e vendo que já é uma solução da equação homogênea ( ), precisamos multiplicar por para encontrar a solução particular. Então, tentamos:
Onde é uma constante a ser determinada.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de yp(x) = A x^-1 ln x :
yp'(x) = A ( -x^-2 ln x + x^-2 )
Primeira derivada:
yp'(x) = A x^-2 (1 - ln x)
yp''(x) = A ( 2x^-3 (1 - ln x) - x^-3 )
Segunda derivada:
yp''(x) = A x^-3 (2 - 2ln x - 1)
yp''(x) = A x^-3 (1 - 2ln x)

Passo 7

Substituindo 2x^2 cdot A x^-3 (1 - 2ln x) + 5x cdot A x^-2 (1 - ln x) + A x^-1 ln x = 1x , 2A x^-1 (1 - 2ln x) + 5A x^-1 (1 - ln x) + A x^-1 ln x = x^-1 e A x^-1 [2(1 - 2ln x) + 5(1 - ln x) + ln x] = x^-1 na equação original:
A x^-1 (2 - 4ln x + 5 - 5ln x + ln x) = x^-1
Simplificando cada termo:
A x^-1 (7 - 8ln x) = x^-1
Fatorando A (7 - 8ln x) = 1 :
A = 17 - 8ln x
Distribuindo:
yp(x) = A x^-1 ln x
yp(x) = A ln x
Então:
Isso não resolve diretamente para , o que indica que nossa escolha inicial para não é a mais adequada. Vamos tentar uma outra abordagem.
Como o lado direito é e já está na solução homogênea, tentamos:
No entanto, isso já foi tentado. Alternativamente, assumimos:
Vamos seguir esse caminho.

Passo 8

Assumindo yp'(x) = Ax , calculamos as derivadas:
yp''(x) = -Ax^2
2x^2 ( -Ax^2 ) + 5x ( Ax ) + A ln x = 1x
Substituindo na equação original:
-2A + 5A + A ln x = 1x
3A + A ln x = 1x
Isso ainda não resolve para , indicando que precisamos reconsiderar nossa abordagem para a solução particular.

Passo 9

Vamos tentar uma solução particular do tipo polinomial. Como o lado direito é yp(x) = Ax , vamos tentar:
yp'(x) = -Ax^2
Calculando as derivadas:
yp''(x) = 2Ax^3
2x^2 cdot 2Ax^3 + 5x cdot ( -Ax^2 ) + Ax = 1x
Substituindo na equação:
4Ax - 5Ax + Ax = 1x
( 4A - 5A + A ) 1x = 1x
0 cdot 1x = 1x
Isso não funciona, pois chegamos a , o que é impossível. Portanto, precisamos de uma forma diferente para .

Passo 10

Vamos tentar uma solução particular que inclua yp(x) = A x^-1 ln x , já que yp'(x) = A ( -x^-2 ln x + x^-2 ) está na solução homogênea. Vamos supor:
yp''(x) = A ( 2x^-3 ln x - 2x^-3 )
Calculando as derivadas:
2x^2 cdot ( 2A x^-3 ln x - 2A x^-3 ) + 5x cdot ( -A x^-2 ln x + A x^-2 ) + A x^-1 ln x = 1x
2x^2 cdot 2A x^-3 ln x = 4A x^-1 ln x
Substituindo na equação original:
2x^2 cdot (-2A x^-3) = -4A x^-1
Simplificando:
5x cdot (-A x^-2 ln x) = -5A x^-1 ln x
5x cdot (A x^-2) = 5A x^-1
A x^-1 ln x = A x^-1 ln x
4A x^-1 ln x - 4A x^-1 - 5A x^-1 ln x + 5A x^-1 + A x^-1 ln x = 1x
(4A -5A + A) x^-1 ln x + (-4A +5A) x^-1 = 1x
Somando tudo:
0 cdot x^-1 ln x + A x^-1 = 1x
A x^-1 = 1x
yp(x) = ln xx
Portanto, . Então, a solução particular é:

Passo 11

Agora, temos a solução geral da equação completa combinando a solução homogênea e a particular:
y(x) = yh(x) + yp(x)
y(x) = C1 x^-1/2 + C2 x^-1 + ln xx

Passo 12

Vamos agora aplicar as condições iniciais para encontrar 1 = C1 cdot 1^-1/2 + C2 cdot 1^-1 + ln 11 e 1 = C1 + C2 + 0 .
Primeiro, C1 + C2 = 1 :
y'(x) = -12 C1 x^-3/2 - C2 x^-2 + 1 - ln xx^2
1 = -12 C1 cdot 1^-3/2 - C2 cdot 1^-2 + 1 - ln 11^2
1 = -12 C1 - C2 + 1 \quad (Equação 1)
Agora, calculamos a derivada de -12 C1 - C2 = 0 :
Aplicando :
\quad (Equação 2)

Passo 13

Agora, temos o sistema de equações:
  1. -12 C1 = C2
  2. C2 = -12 C1
Podemos resolver isso facilmente. Da Equação 2:
C1 - 12 C1 = 1
12 C1 = 1
Substituindo na Equação 1:
C1 = 2
C2 = -12 times 2 = -1
Então,

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(x) = 2, x^-1/2 - x^-1 + ln xx

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