Dada uma equação de Cauchy-Euler:
. Ache a solução do problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação de Cauchy-Euler, que é um tipo especial de equação diferencial. Nosso objetivo é achar a função
que satisfaz a equação:
Além disso, temos condições iniciais que dizem que quando
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações de Cauchy-Euler e encontrar soluções gerais e particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, sem o lado direito:
Para isso, fazemos a substituição típica para equações de Cauchy-Euler: suponha que
. Derivando, temos:
Agora, substituímos na equação homogênea:
Simplificando:
Fatorando
:
Como
≠ 0, temos a equação característica:
Passo 3
Vamos resolver a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
.
Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas raízes:
Passo 4
Com as raízes
e
, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar mais tarde com as condições iniciais.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Observando o lado direito, que é
, e vendo que
já é uma solução da equação homogênea (
), precisamos multiplicar por
para encontrar a solução particular. Então, tentamos:
Onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando cada termo:
Fatorando
:
Distribuindo:
Então:
Isso não resolve diretamente para
, o que indica que nossa escolha inicial para
não é a mais adequada. Vamos tentar uma outra abordagem.
Como o lado direito é
e já está na solução homogênea, tentamos:
No entanto, isso já foi tentado. Alternativamente, assumimos:
Vamos seguir esse caminho.
Passo 8
Assumindo
, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação original:
Isso ainda não resolve para
, indicando que precisamos reconsiderar nossa abordagem para a solução particular.
Passo 9
Vamos tentar uma solução particular do tipo polinomial. Como o lado direito é
, vamos tentar:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Isso não funciona, pois chegamos a
, o que é impossível. Portanto, precisamos de uma forma diferente para
.
Passo 10
Vamos tentar uma solução particular que inclua
, já que
está na solução homogênea. Vamos supor:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Somando tudo:
Portanto,
. Então, a solução particular é:
Passo 11
Agora, temos a solução geral da equação completa combinando a solução homogênea e a particular:
Passo 12
Vamos agora aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro,
:
Agora, calculamos a derivada de
:
Aplicando
:
Passo 13
Agora, temos o sistema de equações:
Podemos resolver isso facilmente. Da Equação 2:
Substituindo na Equação 1:
Então,
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: