Dada uma equação não linear y^prime prime(x) y(x)=(3 x^2+1) y^prime(x)^2. Fazendo a substitução apropriada diminua ordem da equação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial não linear que a gente tem aqui:
y''(x) cdot y(x) = (3x^2 + 1) cdot (y'(x))^2
A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente de segunda ordem e não lineares. Para diminuir a ordem dessa equação, vamos usar uma substituição apropriada que transforma a equação de segunda ordem em uma de primeira ordem, facilitando a resolução. Vamos precisar entender como fazer essa substituição e aplicar propriedades das EDOs para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para reduzir a ordem da equação. Vamos definir:
p = y'(x)
Isso quer dizer que a derivada de y''(x) = p'(x) em relação a é . Com isso, a segunda derivada pode ser expressa como a derivada de em relação a :

Passo 3

Agora, substituímos p'(x) cdot y(x) = (3x^2 + 1) cdot p(x)^2 e na equação original usando e :
Essa é uma equação que relaciona , e .

Passo 4

Precisamos isolar p'(x) = (3x^2 + 1) cdot p(x)^2 cdot 1y(x) para tornar a equação mais manejável:
Até aqui, ainda temos na equação, o que não facilita. Precisamos relacionar com .

Passo 5

Lembrando que:
p = y'(x)
Podemos expressar y(x) = integral p , dx + C em termos de integrando ambos os lados:
Mas essa abordagem complica mais a equação. Então, para facilitar, vamos considerar a relação direta entre e .

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis dpdx = (3x^2 + 1) cdot p^2 e :
Isso simplifica a equação para uma forma de primeira ordem, onde é função de .

Passo 7

Agora temos uma equação diferencial de primeira ordem:
dpdx = (3x^2 + 1) cdot p^2
Essa é uma equação separável, o que facilita sua resolução futura.

Resposta

Após a substituição dpdx = (3x^2 + 1) cdot p^2 , a equação diferencial original é reduzida para uma equação de primeira ordem:

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