Dada uma equação não linear
. Fazendo a substitução apropriada diminua ordem da equação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial não linear que a gente tem aqui:
A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente de segunda ordem e não lineares. Para diminuir a ordem dessa equação, vamos usar uma substituição apropriada que transforma a equação de segunda ordem em uma de primeira ordem, facilitando a resolução. Vamos precisar entender como fazer essa substituição e aplicar propriedades das EDOs para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para reduzir a ordem da equação. Vamos definir:
Isso quer dizer que a derivada de
em relação a
é
. Com isso, a segunda derivada
pode ser expressa como a derivada de
em relação a
:
Passo 3
Agora, substituímos
e
na equação original usando
e
:
Essa é uma equação que relaciona
,
e
.
Passo 4
Precisamos isolar
para tornar a equação mais manejável:
Até aqui, ainda temos
na equação, o que não facilita. Precisamos relacionar
com
.
Passo 5
Lembrando que:
Podemos expressar
em termos de
integrando ambos os lados:
Mas essa abordagem complica mais a equação. Então, para facilitar, vamos considerar a relação direta entre
e
.
Passo 6
Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
:
Isso simplifica a equação para uma forma de primeira ordem, onde
é função de
.
Passo 7
Agora temos uma equação diferencial de primeira ordem:
Essa é uma equação separável, o que facilita sua resolução futura.
Resposta
Após a substituição
, a equação diferencial original é reduzida para uma equação de primeira ordem: