Dada uma equação não linear y^prime prime(x) y(x)=(3 x^2+1) y^prime(x)^2. Ache a solução geral da equação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial não linear de segunda ordem:
y''(x) cdot y(x) = (3x^2 + 1) cdot (y'(x))^2
Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição para transformar essa equação complicada em algo mais simples que a gente consiga resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a notação definindo p' cdot y = (3x^2 + 1) cdot p^2. Com isso, a derivada segunda passa a ser (ou ). Substituindo na equação original, temos:
Agora, a equação ficou uma equação diferencial de primeira ordem envolvendo e .

Passo 3

Sabemos que dpdy cdot p cdot y = (3x^2 + 1) cdot p^2. Então, podemos escrever dpdy cdot y = (3x^2 + 1) cdot p. Porém, para facilitar, vamos usar a regra da cadeia e escrever .
Substituindo isso na equação, temos:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :

Passo 4

Agora, precisamos expressar dpdy = (3x^2 + 1) cdot p cdot 1y em função de 1p cdot dpdy = 3x^2 + 1y para resolver a equação. No entanto, isso pode ser complicado, então vamos assumir que integral 1p cdot dpdy , dy = integral 3x^2 + 1y , dy é uma função de ln|p| = integral 3x^2 + 1y , dy + C e reorganizar a equação:
Para simplificar, vamos reescrever a equação de separação de variáveis:
Agora, integremos ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral no lado direito. Para isso, assumimos que ln|p| = integral 3x^2 + 1y , dy + C é função de p' cdot y = (3x^2 + 1) cdot p^2 e seguimos com a integração:
dpdx = (3x^2 + 1) cdot p^2y
Sem uma relação explícita entre dpdy cdot p = (3x^2 + 1) cdot p^2y e dpdy = (3x^2 + 1)y cdot p, não podemos resolver essa integral diretamente. Portanto, vamos reconsiderar nossa abordagem e tentar uma substituição diferente.
Vamos retornar à equação original após a substituição :
Reorganizando:
Sabemos que , então . Substituindo novamente:
Dividindo ambos os lados por , obtemos:
Isso sugere que a equação é linear em termos de e pode ser resolvida usando um fator integrante.

Passo 6

Vamos escrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
dpdy - (3x^2 + 1)y cdot p = 0
O fator integrante mu(y) = e^-integral 3x^2 + 1y dy é dado por:
Entretanto, sem uma relação explícita entre e , essa integração não pode ser realizada diretamente. Portanto, percebe-se que a equação é bastante complexa e pode exigir métodos mais avançados ou suposições adicionais para ser resolvida completamente.

Resposta

Após seguir os passos de substituição e simplificação, a solução geral da equação diferencial dada não pode ser expressa de forma explícita sem relações adicionais entre e . Portanto, a solução geral permanece em termos de integrais que dependem da relação funcional entre e .

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