Dada a equação diferencial
y^(3)-9 y^prime=108 e^3 x
e as condições iniciais y(0)=0, y^prime(0)=0 e y^prime prime(0)=0.
Classifique a EDO quanto à sua ordem e quanto à linearidade.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que você me mandou. A gente tem uma equação diferencial:
y^(3) - 9y' = 108 e^3x
E também algumas condições iniciais:
y(0) = 0, y^prime(0) = 0 e y^prime prime(0) = 0
O que a gente precisa fazer aqui é classificar essa equação diferencial com base em dois aspectos: ordem e linearidade. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre o que cada um desses termos significa na matemática das equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a ordem da equação diferencial. A ordem de uma EDO é simplesmente a maior derivada que aparece na equação. Olhando para a nossa equação:
y^(3) - 9y' = 108 e^3x
Temos a derivada terceira de $ y $ (que é $ y^{(3)} $) e a derivada primeira (que é $ y’ $). A maior delas é a terceira derivada, então a ordem da equação é 3.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a linearidade da equação diferencial. Uma EDO é chamada de linear se ela pode ser escrita na forma:
an(x)y^(n) + an-1(x)y^(n-1) + dots + a1(x)y' + a0(x)y = g(x)
onde $ a_n(x), a_{n-1}(x), \dots, a_0(x) $ são funções de $ x $ e $ g(x) $ é uma função conhecida. Importante: $ y $ e suas derivadas aparecem somente na primeira potência e não multiplicadas entre si.
Voltando à nossa equação:
an(x), an-1(x), dots, a0(x)
Veja que $ y^{(3)} $ e $ y’ $ estão na primeira potência e não estão multiplicados ou compostos de nenhuma outra maneira complicada. Além disso, os coeficientes (nesse caso, 1 e -9) são constantes, o que também atende aos critérios de linearidade.

Resposta

A equação diferencial dada é de terceira ordem e linear.

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