Dada a equação diferencial
e as condições iniciais
e
.
Encontre a solução do problema usando a transformada e a transformada inversa de Laplace.
Encontre a solução do problema usando a transformada e a transformada inversa de Laplace.
Passo 1
Entendendo o problema e os conceitos necessários
Vamos resolver a equação diferencial de terceira ordem:
com as condições iniciais:
Vamos utilizar a Transformada de Laplace para resolver essa equação. A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, transformando-as em equações algébricas mais fáceis de manipular.
Passo 2
Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação:
Passo 3
Utilizando as propriedades da Transformada de Laplace para derivadas
Sabemos que:
Aplicando isso para
e
:
Substituindo as condições iniciais
:
Passo 4
Substituindo na equação transformada e resolvendo para Y(s)
Substituindo na equação original transformada:
Sabemos que:
Portanto:
Agora temos:
Fatorando Y(s):
Resolvendo para Y(s):
Passo 5
Fazendo a decomposição em frações parciais
Queremos escrever Y(s) como soma de frações mais simples. Observando o denominador:
Então, podemos escrever:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar A, B, C, D, escolhemos valores de s que simplificam a equação:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para encontrar B, podemos usar outro valor de s, por exemplo
:
Substituindo s = 1 na equação original:
Calculando:
Então, temos:
Passo 6
Aplicando a Transformada Inversa de Laplace para encontrar y(x)
Agora, encontramos y(x) aplicando a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:
Assim, somando todos os termos:
Resposta
A solução da equação diferencial é: