Dada a equação diferencial
y^(3)-9 y^prime=108 e^3 x
e as condições iniciais y(0)=0, y^prime(0)=0 e y^prime prime(0)=0.
Encontre a solução do problema usando a transformada e a transformada inversa de Laplace.

Passo 1

Entendendo o problema e os conceitos necessários
Vamos resolver a equação diferencial de terceira ordem:
y^(3) - 9 y' = 108 e^3x
com as condições iniciais:
y(0) = 0, y'(0) = 0, y''(0) = 0
Vamos utilizar a Transformada de Laplace para resolver essa equação. A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, transformando-as em equações algébricas mais fáceis de manipular.

Passo 2

Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação:
Ly^(3) - 9 Ly' = L108 e^3x

Passo 3

Utilizando as propriedades da Transformada de Laplace para derivadas
Sabemos que:
Ly^(n) = s^n Y(s) - s^n-1 y(0) - dots - y^(n-1)(0)
Aplicando isso para Ly^(3) = s^3 Y(s) - s^2 y(0) - s y'(0) - y''(0) e Ly' = s Y(s) - y(0) :
Ly^(3) = s^3 Y(s)
Ly' = s Y(s)
Substituindo as condições iniciais :

Passo 4

Substituindo na equação transformada e resolvendo para Y(s)
Substituindo na equação original transformada:
s^3 Y(s) - 9 s Y(s) = L108 e^3x
Sabemos que:
Le^ax = 1s - a
Portanto:
L108 e^3x = 108s - 3
Agora temos:
s^3 Y(s) - 9 s Y(s) = 108s - 3
Fatorando Y(s):
Y(s)(s^3 - 9s) = 108s - 3
Resolvendo para Y(s):
Y(s) = 108(s - 3)(s^3 - 9s) = 108(s - 3)s(s^2 - 9)

Passo 5

Fazendo a decomposição em frações parciais
Queremos escrever Y(s) como soma de frações mais simples. Observando o denominador:
(s - 3)s(s^2 - 9) = (s - 3)s(s - 3)(s + 3) = (s - 3)^2 s (s + 3)
Então, podemos escrever:
108(s - 3)^2 s (s + 3) = As + Bs - 3 + C(s - 3)^2 + Ds + 3
Multiplicando ambos os lados por 108 = A (s - 3)^2 (s + 3) + B s (s - 3)(s + 3) + C s (s + 3) + D (s - 3)^2 s :
108 = A (-3)^2 (0 + 3) + 0 + 0 + 0 Rightarrow 108 = 9A Rightarrow A = 12
Para encontrar A, B, C, D, escolhemos valores de s que simplificam a equação:
  • Para 108 = 0 + 0 + C cdot 3 cdot 6 + 0 Rightarrow 108 = 18C Rightarrow C = 6 :
108 = A ( -6)^2 (0) + B (-3)(-6)(0) + C (-3)(0) + D ( -6)^2 (-3) Rightarrow 108 = -108 D Rightarrow D = -1
  • Para 108 = 12 (1 - 3)^2 (1 + 3) + B cdot 1 (1 - 3)(1 + 3) + 6 cdot 1 (1 + 3) + (-1)(1 - 3)^2 cdot 1 :
108 = 12 (4) (4) + B ( -2)(4) + 6 (4) + (-1)(4) 108 = 192 - 8B + 24 - 4 108 = 212 - 8B -104 = -8B B = 13
  • Para Y(s) = 12s + 13s - 3 + 6(s - 3)^2 - 1s + 3 :
  • Para encontrar B, podemos usar outro valor de s, por exemplo :
Substituindo s = 1 na equação original:
Calculando:
Então, temos:

Passo 6

Aplicando a Transformada Inversa de Laplace para encontrar y(x)
Agora, encontramos y(x) aplicando a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:
  • y(x) = 12 + 13 e^3x + 6 x e^3x - e^-3x
Assim, somando todos os termos:

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = 12 + 13 e^3x + 6 x e^3x - e^-3x

Exercícios relacionados