Determine a transformada de Laplace da função f(t)=l-t^2+2 t-1,0 <= t<1 0, t >= 1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a transformada de Laplace da função f(t) = -t^2 + 2t -1, & 0 <= t <1 0, & t >=1 , que é definida como:
A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que transforma funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais. Para resolver esse problema, vamos precisar calcular a integral da função multiplicada por no intervalo onde é diferente de zero, ou seja, de 0 a 1.

Passo 2

A fórmula geral da transformada de Laplace de uma função F(s) = integral0^infty f(t) e^-st dt é:
F(s) = integral0^1 (-t^2 + 2t -1) e^-st dt
No nosso caso, como para , a integral se reduz de 0 a 1:

Passo 3

Vamos agora calcular a integral separando os termos:
F(s) = -integral0^1 t^2 e^-st dt + 2 integral0^1 t e^-st dt - integral0^1 e^-st dt
Cada uma dessas integrais será resolvida individualmente.

Passo 4

Primeiro, calculamos integral t^2 e^-st dt = 2s^3 (1 - e^-s(1 + s + s^2)) :
Usamos a integração por partes ou uma tabela de integrais para encontrar:

Passo 5

Em seguida, calculamos integral t e^-st dt = 1s^2 (1 - e^-s(1 + s)) :
Novamente, usando integração por partes ou tabela de integrais:
integral e^-st dt = 1s (1 - e^-s)
Por fim, calculamos :

Passo 6

Substituindo os resultados das integrais na expressão de F(s) = - ( 2s^3 (1 - e^-s(1 + s + s^2)) ) + 2 ( 1s^2 (1 - e^-s(1 + s)) ) - ( 1s (1 - e^-s) ) :

Passo 7

Simplificando a expressão:
F(s) = 2s^3 (e^-s(1 + s + s^2) -1 ) + 2s^2 (1 - e^-s(1 + s)) - 1s (1 - e^-s)

Resposta

A transformada de Laplace da função F(s) = 2s^3 ( e^-s(1 + s + s^2) -1 ) + 2s^2 (1 - e^-s(1 + s) ) - 1s (1 - e^-s ) é:

Exercícios relacionados