Determine a transformada de Laplace da função
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a transformada de Laplace da função
, que é definida como:
A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que transforma funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais. Para resolver esse problema, vamos precisar calcular a integral da função multiplicada por
no intervalo onde
é diferente de zero, ou seja, de 0 a 1.
Passo 2
A fórmula geral da transformada de Laplace de uma função
é:
No nosso caso, como
para
, a integral se reduz de 0 a 1:
Passo 3
Vamos agora calcular a integral separando os termos:
Cada uma dessas integrais será resolvida individualmente.
Passo 4
Primeiro, calculamos
:
Usamos a integração por partes ou uma tabela de integrais para encontrar:
Passo 5
Em seguida, calculamos
:
Novamente, usando integração por partes ou tabela de integrais:
Por fim, calculamos
:
Passo 6
Substituindo os resultados das integrais na expressão de
:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é: