Determine a solução do PVI dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse Problema de Valores Iniciais (PVI) juntos! A questão nos pede para encontrar a solução da equação diferencial:
com as condições iniciais
e
.
Conteúdo da matéria: Vamos precisar entender equações diferenciais lineares de segunda ordem, especialmente as do tipo Cauchy-Euler, que têm coeficientes que são funções de
.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a equação dada é uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes que dependem de
. Ela está na forma:
Aqui,
é a segunda derivada de
em relação a
, e
é a primeira derivada.
Passo 3
Vamos resolver essa equação em duas partes:
- Solução da equação homogênea associada (
). - Solução particular da equação não homogênea (
no lado direito).
Depois, combinamos essas soluções e aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.
Passo 4
Solução Homogênea:
Assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Como
nunca é zero, o que nos interessa é a expressão dentro dos colchetes:
Resolvendo para
:
onde
é a unidade imaginária.
Passo 5
Com os valores de
, a solução homogênea geral é:
onde
e
são constantes que vamos determinar mais tarde.
Explicação: Usamos a identidade de Euler para reescrever
e
em termos de funções trigonométricas.
Passo 6
Solução Particular:
Precisamos encontrar uma solução específica
que satisfaça a equação não homogênea:
Como o lado direito é uma constante (
), tentamos uma solução constante:
onde
é uma constante.
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Então, a solução particular é:
Passo 7
Solução Geral da Equação:
Combinando a solução homogênea e a particular, temos:
Passo 8
Aplicando as Condições Iniciais:
Agora, usamos as condições
e
para encontrar
e
.
-
Para
: Substituímosna solução geral: Sabemos que, então: Então: -
Para
: Primeiro, encontramos a derivada da solução geral:Aplicando a regra da cadeia:Simplificando:Substituindo:
Resposta
A solução do PVI é: