Determine a solução do PVI dado.
x^2 y^prime prime+x y^prime+y=12, y(1)=1, y^prime(1)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse Problema de Valores Iniciais (PVI) juntos! A questão nos pede para encontrar a solução da equação diferencial:
x^2 y'' + x y' + y = 12,
com as condições iniciais e .
Conteúdo da matéria: Vamos precisar entender equações diferenciais lineares de segunda ordem, especialmente as do tipo Cauchy-Euler, que têm coeficientes que são funções de .

Passo 2

Primeiro, identificamos que a equação dada é uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes que dependem de x^2 y'' + x y' + y = 12 . Ela está na forma:
Aqui, é a segunda derivada de em relação a , e é a primeira derivada.

Passo 3

Vamos resolver essa equação em duas partes:
  1. Solução da equação homogênea associada ( ).
  2. Solução particular da equação não homogênea ( no lado direito).
Depois, combinamos essas soluções e aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.

Passo 4

Solução Homogênea:
Assumimos uma solução da forma y' = r x^r - 1, , onde y'' = r (r - 1) x^r - 2 é uma constante a ser determinada.
Calculamos as derivadas:
x^2 (r (r - 1) x^r - 2) + x (r x^r - 1) + x^r = 0
r (r - 1) x^r + r x^r + x^r = 0,
Substituindo na equação homogênea:
[r (r - 1) + r + 1] x^r = 0
Simplificando:
r^2 + 1 = 0
r = pm i,
Como nunca é zero, o que nos interessa é a expressão dentro dos colchetes:
Resolvendo para :
onde é a unidade imaginária.

Passo 5

Com os valores de yh = C1 cos(ln x) + C2 sin(ln x), , a solução homogênea geral é:
onde e são constantes que vamos determinar mais tarde.
Explicação: Usamos a identidade de Euler para reescrever e em termos de funções trigonométricas.

Passo 6

Solução Particular:
Precisamos encontrar uma solução específica x^2 y'' + x y' + y = 12 que satisfaça a equação não homogênea:
yp = k,
Como o lado direito é uma constante ( y'p = 0, ), tentamos uma solução constante:
y''p = 0
onde 0 + 0 + k = 12 Rightarrow k = 12 é uma constante.
Calculamos as derivadas:
yp = 12
Substituindo na equação:
Então, a solução particular é:

Passo 7

Solução Geral da Equação:
Combinando a solução homogênea e a particular, temos:
y(x) = C1 cos(ln x) + C2 sin(ln x) + 12

Passo 8

Aplicando as Condições Iniciais:
Agora, usamos as condições 1 = C1 cos(ln 1) + C2 sin(ln 1) + 12 e cos(0) = 1 e sin(0) = 0 para encontrar 1 = C1 cdot 1 + C2 cdot 0 + 12 Rightarrow C1 + 12 = 1 Rightarrow C1 = -11 e y'(x) = ddx [C1 cos(ln x) + C2 sin(ln x) + 12] .
  1. Para y'(x) = C1 cdot (-sin(ln x)) cdot 1x + C2 cdot cos(ln x) cdot 1x :
    Substituímos y'(x) = -C1 sin(ln x) + C2 cos(ln x)x na solução geral:
    0 = -C1 sin(0) + C2 cos(0)1 Rightarrow 0 = 0 + C2 cdot 1 Rightarrow C2 = 0
    Sabemos que , então:
    Então:
  2. Para :
    Primeiro, encontramos a derivada da solução geral:
    Aplicando a regra da cadeia:
    Simplificando:
    Substituindo :

Resposta

A solução do PVI é:
y(x) = -11 cos(ln x) + 12

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