Dada uma equação não linear
. Fazendo a substitução apropriada diminua ordem da equação.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial não linear de segunda ordem dada por:
O objetivo aqui é diminuir a ordem dessa equação, ou seja, transformar uma equação de segunda ordem em uma de primeira ordem usando uma substituição adequada. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre substituições em equações diferenciais e como elas podem simplificar o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a equação. Vamos definir uma nova função
que representa a primeira derivada de
em relação a
. Ou seja:
Com essa substituição, a segunda derivada
pode ser expressa como a derivada de
em relação a
:
Agora, substituímos essas expressões na equação original:
Passo 3
Agora, temos uma equação diferencial que relaciona
e
. Para simplificar ainda mais, vamos usar a regra da cadeia. Sabemos que
, então podemos escrever
como:
Substituindo isso na equação que obtivemos:
Passo 4
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
(desde que
):
Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem em relação a
e
, que é mais simples de resolver.
Passo 5
Vamos resolver essa equação diferencial integrada:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Lembrando que
, substituímos de volta para obter a equação de primeira ordem:
Essa é a equação diferencial de primeira ordem resultante após a redução de ordem.
Resposta
A equação reduzida de primeira ordem é: