Dada uma equação não linear y^prime prime(x)=y^prime(x)(y(x)+1). Fazendo a substitução apropriada diminua ordem da equação.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial não linear de segunda ordem dada por:
y''(x) = y'(x)(y(x) + 1)
O objetivo aqui é diminuir a ordem dessa equação, ou seja, transformar uma equação de segunda ordem em uma de primeira ordem usando uma substituição adequada. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre substituições em equações diferenciais e como elas podem simplificar o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a equação. Vamos definir uma nova função p = y'(x) que representa a primeira derivada de y''(x) = p'(x) em relação a p'(x) = p(x) (y(x) + 1) . Ou seja:
Com essa substituição, a segunda derivada pode ser expressa como a derivada de em relação a :
Agora, substituímos essas expressões na equação original:

Passo 3

Agora, temos uma equação diferencial que relaciona p'(x) = dpdx = dpdy cdot dydx = dpdy cdot p e dpdy cdot p = p (y + 1) . Para simplificar ainda mais, vamos usar a regra da cadeia. Sabemos que , então podemos escrever como:
Substituindo isso na equação que obtivemos:

Passo 4

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por dpdy = y + 1 (desde que ):
Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem em relação a e , que é mais simples de resolver.

Passo 5

Vamos resolver essa equação diferencial integrada:
dpdy = y + 1
Integrando ambos os lados em relação a integral dpdy , dy = integral (y + 1) , dy :
p = 12 y^2 + y + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Lembrando que y' = 12 y^2 + y + C , substituímos de volta para obter a equação de primeira ordem:
Essa é a equação diferencial de primeira ordem resultante após a redução de ordem.

Resposta

A equação reduzida de primeira ordem é:
y' = 12 y^2 + y + C

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