Estimar os erros absoluto e relativo no produto prodj=1^k xj=x1 cdot x2 cdot x3 ldots xk, com operação em aritmética de ponto flutuante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para estimar os erros absoluto e relativo no produto de números, ou seja, calcular , usando aritmética de ponto flutuante. Vamos precisar entender um pouco sobre erros em operações matemáticas com números de ponto flutuante e como esses erros se acumulam quando fazemos múltiplas multiplicações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são erros absoluto e relativo.
  • Erro absoluto: É a diferença entre o valor verdadeiro e o valor aproximado. Se é o produto calculado com ponto flutuante e é o produto exato, então o erro absoluto é .
  • Erro relativo: É o erro absoluto dividido pelo valor verdadeiro, ou seja, .
Na aritmética de ponto flutuante, cada operação de multiplicação pode introduzir um pequeno erro relativo devido à precisão limitada dos números representados.

Passo 3

Vamos considerar que cada multiplicação widetildexi cdot xj = (xi cdot xj) cdot (1 + de tem um erro relativo no máximo igual a , onde é a precisão da máquina (ou máquina epsilon). Isso significa que, ao multiplicar dois números, o resultado real é o resultado exato multiplicado por , onde .
Então, para cada multiplicação no nosso produto, temos:
com .

Passo 4

Agora, vamos estimar o erro relativo no produto total de. Como temos multiplicações, cada uma com um erro relativo de no máximo , os erros se acumulam de forma aditiva no pior caso.
Então, o erro relativo total pode ser estimado por:
Isso significa que o erro relativo no produto é, no máximo, vezes a precisão da máquina.

Passo 5

Com o erro relativo estimado, podemos agora calcular o erro absoluto. Sabemos que:
Erro absoluto = |Erro relativo| cdot |P|
Portanto, substituindo Erro absoluto <= k cdot epsilon cdot |P| :

Resposta

O erro relativo no produto de é, no máximo, Erro absoluto <= k cdot epsilon cdot |P| vezes a precisão da máquina , ou seja:
E o erro absoluto é, no máximo, multiplicado pelo valor exato do produto:

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