Estimar os erros absoluto e relativo no produto
, com operação em aritmética de ponto flutuante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para estimar os erros absoluto e relativo no produto de
números, ou seja, calcular
, usando aritmética de ponto flutuante. Vamos precisar entender um pouco sobre erros em operações matemáticas com números de ponto flutuante e como esses erros se acumulam quando fazemos múltiplas multiplicações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são erros absoluto e relativo.
-
Erro absoluto: É a diferença entre o valor verdadeiro e o valor aproximado. Se
é o produto calculado com ponto flutuante e é o produto exato, então o erro absoluto é . -
Erro relativo: É o erro absoluto dividido pelo valor verdadeiro, ou seja,
.
Na aritmética de ponto flutuante, cada operação de multiplicação pode introduzir um pequeno erro relativo devido à precisão limitada dos números representados.
Passo 3
Vamos considerar que cada multiplicação
tem um erro relativo no máximo igual a
, onde
é a precisão da máquina (ou máquina epsilon). Isso significa que, ao multiplicar dois números, o resultado real é o resultado exato multiplicado por
, onde
.
Então, para cada multiplicação no nosso produto, temos:
com
.
Passo 4
Agora, vamos estimar o erro relativo no produto total
. Como temos
multiplicações, cada uma com um erro relativo de no máximo
, os erros se acumulam de forma aditiva no pior caso.
Então, o erro relativo total
pode ser estimado por:
Isso significa que o erro relativo no produto é, no máximo,
vezes a precisão da máquina.
Passo 5
Com o erro relativo estimado, podemos agora calcular o erro absoluto. Sabemos que:
Portanto, substituindo
:
Resposta
O erro relativo no produto
é, no máximo,
vezes a precisão da máquina
, ou seja:
E o erro absoluto é, no máximo,
multiplicado pelo valor exato do produto: