Seja x, y, z e w valores numéricos representados exatamente. Determinar o erro no cálculo u=(x+y) z-w.

Passo 1

Vamos analisar o problema: precisamos determinar o erro no cálculo da expressão , onde e são valores numéricos representados exatamente. Vamos utilizar conceitos de análise de erros em aritmética de ponto flutuante para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como os erros podem ocorrer nas operações aritméticas. Quando somamos ou multiplicamos números em ponto flutuante, podem ocorrer pequenas imprecisões devido à representação finita dos números. Esses erros são geralmente pequenos e podem ser estimados usando uma aproximação de erro relativo.

Passo 3

Para a operação de adição (x + y)exato = (x + y) cdot (1 + de, o erro relativo pode ser representado como:
onde , sendo a precisão da máquina.

Passo 4

Em seguida, multiplicamos o resultado pela constante (x + y) cdot z = (x + y)exato cdot z cdot (1 + de:
onde .

Passo 5

Finalmente, subtraímos u = [(x + y) cdot z]exato - w cdot (1 + de:
onde .

Passo 6

Para encontrar o erro total, combinamos os erros das operações anteriores. Assumindo que os erros são pequenos, podemos somá-los:
Erro total approx de
Como cada |Erro total| <= 3epsilon , o erro total é:

Resposta

O erro no cálculo |Erro| <= 3epsilon é, no máximo, três vezes a precisão da máquina, ou seja:

Exercícios relacionados