Seja
e
valores numéricos representados exatamente. Determinar o erro no cálculo
.
Passo 1
Vamos analisar o problema: precisamos determinar o erro no cálculo da expressão
, onde
e
são valores numéricos representados exatamente. Vamos utilizar conceitos de análise de erros em aritmética de ponto flutuante para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como os erros podem ocorrer nas operações aritméticas. Quando somamos ou multiplicamos números em ponto flutuante, podem ocorrer pequenas imprecisões devido à representação finita dos números. Esses erros são geralmente pequenos e podem ser estimados usando uma aproximação de erro relativo.
Passo 3
Para a operação de adição
, o erro relativo pode ser representado como:
onde
, sendo
a precisão da máquina.
Passo 4
Em seguida, multiplicamos o resultado pela constante
:
onde
.
Passo 5
Finalmente, subtraímos
:
onde
.
Passo 6
Para encontrar o erro total, combinamos os erros das operações anteriores. Assumindo que os erros são pequenos, podemos somá-los:
Como cada
, o erro total é:
Resposta
O erro no cálculo
é, no máximo, três vezes a precisão da máquina, ou seja: