Dada a equação (sen x + cos y)(sec x + cossec y) = 4 resolva-a se
sen x = cos y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação: , sabendo que . A matéria envolve trigonometria, especialmente identidades trigonométricas e substituições. Vamos precisar usar as relações entre seno, cosseno, secante e cossecante para simplificar e resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a condição que . Isso nos ajuda a substituir por sen x na equação original. Assim, a equação fica:
Simplificando, temos:

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que são sec(x) e . A secante é o inverso do cosseno, ou seja, , e a cossecante é o inverso do seno, então . Como sabemos que , isso nos ajuda a relacionar .
Como (pela propriedade de cofunções: , mas para simplificação, assumiremos para o contexto deste problema).

Passo 4

Substituindo por na equação, ficamos com:
Simplificando dentro dos parênteses:

Passo 5

Multiplicando os termos:
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, dividimos ambos os lados por 4:
Sabemos que , então:

Passo 7

A equação tem soluções onde , onde k é um inteiro qualquer. Então, as soluções para x são:

Passo 8

Como , substituímos x nas soluções encontradas:
Sabemos que , então:

Passo 9

Isso nos dá as soluções para y:

Resposta

As soluções da equação são:

onde k é qualquer número inteiro.

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