Determine o domínio de e calcule e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio da função e calcular três coisas: , e . Vamos precisar entender sobre domínio de funções, substituição de variáveis, inverso multiplicativo e função inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio de . O domínio é o conjunto de todos os valores de que a função pode assumir sem causar problemas, como divisão por zero.
A função tem um denominador . A divisão por zero não é permitida, então precisamos encontrar quando .
Resolvendo:
Então, o domínio de é todos os números reais exceto .

Passo 3

Agora, vamos calcular . Isso significa que iremos substituir por na função original.
Começando com a função:
Agora, vamos simplificar o numerador e o denominador:
Então, .

Passo 4

Em seguida, vamos calcular , que é o inverso multiplicativo de . Isso significa que simplesmente trocamos o numerador e o denominador da função.
Dada a função , o inverso multiplicativo é:

Passo 5

Por último, vamos encontrar , a função inversa de . A função inversa troca por e resolve para .
Comecemos escrevendo:
Agora, trocamos e :
Vamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por :
Isolando os termos com :
Finalmente, resolvendo para :
Então, a função inversa é:

Resposta

• Domínio de : todos os reais exceto .
.
.
• Função inversa: .

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