Dada a expressão
dimensionalmente correta, determine as dimensões de
e
se
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma expressão envolvendo raízes quadradas e queremos garantir que ela seja dimensionalmente correta, ou seja, que as unidades das grandezas envolvidas façam sentido juntas. Precisamos descobrir quais são as dimensões de
e
sabendo que
. Para isso, vamos usar conceitos básicos de dimensional análise, que ajudam a verificar se uma equação está correta em termos de unidades.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dada:
Sabemos que o resultado da raiz quadrada é medido em metros, então o que está dentro da raiz deve ter unidades de metros ao quadrado (
).
Passo 3
Vamos focar na fração dentro da raiz:
Para que essa fração tenha unidades de
, tanto o numerador quanto o denominador devem ter as mesmas unidades, de forma que ao dividir, as dimensões se cancelem adequadamente.
Passo 4
Vamos determinar as dimensões de cada termo. Sabemos que
, então
tem dimensão de força, que é:
Onde:
- M = massa
- L = comprimento
- T = tempo
Passo 5
Agora, vamos analisar os termos do numerador
. Para que a soma faça sentido,
e
devem ter as mesmas dimensões.
Vamos supor que
tem dimensão de comprimento (
), mas como não foi especificado, vamos manter
genérico.
Então:
Passo 6
No denominador
, para a soma ser válida,
e
devem ter as mesmas dimensões.
Sabemos que:
Mas isso não faz sentido, a menos que algum fator de unidade esteja faltando. Isso sugere que
deve ter dimensões compatíveis com
.
Então, talvez
tenha dimensão de
para que
seja dimensionalmente consistente.
Passo 7
Assumindo que:
Então:
E o numerador precisa ter a mesma dimensão:
Passo 8
Vamos igualar as dimensões:
Para
:
Então:
Para
:
Então:
Resposta
As dimensões são:
-
é adimensional (sem unidades). -
tem dimensão de .