Dada a expressão
dimensionalmente correta, determine as dimensões de e se .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma expressão envolvendo raízes quadradas e queremos garantir que ela seja dimensionalmente correta, ou seja, que as unidades das grandezas envolvidas façam sentido juntas. Precisamos descobrir quais são as dimensões de e sabendo que . Para isso, vamos usar conceitos básicos de dimensional análise, que ajudam a verificar se uma equação está correta em termos de unidades.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dada:
Sabemos que o resultado da raiz quadrada é medido em metros, então o que está dentro da raiz deve ter unidades de metros ao quadrado ( ).

Passo 3

Vamos focar na fração dentro da raiz:
Para que essa fração tenha unidades de , tanto o numerador quanto o denominador devem ter as mesmas unidades, de forma que ao dividir, as dimensões se cancelem adequadamente.

Passo 4

Vamos determinar as dimensões de cada termo. Sabemos que , então tem dimensão de força, que é:
ç
Onde:
  • M = massa
  • L = comprimento
  • T = tempo

Passo 5

Agora, vamos analisar os termos do numerador . Para que a soma faça sentido, e devem ter as mesmas dimensões.
Vamos supor que tem dimensão de comprimento ( ), mas como não foi especificado, vamos manter genérico.
Então:
  • ç

Passo 6

No denominador , para a soma ser válida, e devem ter as mesmas dimensões.
Sabemos que:
Mas isso não faz sentido, a menos que algum fator de unidade esteja faltando. Isso sugere que deve ter dimensões compatíveis com .
Então, talvez tenha dimensão de para que seja dimensionalmente consistente.

Passo 7

Assumindo que:
Então:
E o numerador precisa ter a mesma dimensão:

Passo 8

Vamos igualar as dimensões:
Para :
Então:
Para :
Então:

Resposta

As dimensões são:
  • é adimensional (sem unidades).
  • tem dimensão de .

Exercícios relacionados

Se a grandeza representa área e obedece a equação
calcule as dimensões de e para que a expressão acima seja dimensionalmente correta.
Escolha uma opção:
a. Para calcular a diferença de potencial não podemos escolher um ponto do campo e
estabelecer arbitrariamente que nele a energia potencial é nula.
b. Podemos estabelecer como nível zero de energia potencial o ponto onde a força é nula.
c. Não é correto falarmos em energia potencial de uma carga apenas.
Sobre um corpo atua uma força que depende do tempo segundo a equação
onde é a base do logaritmo natural, a força e o tempo. Encontre a equação dimensional para a grandeza , tal que .
Se a equação é dimensionalmente correta, calcule a dimensão da grandeza . Considere que e possuem dimensões de densidade e pressão, respectivamente.