Dada a expressão
raizalpha cdot x+beta cdot yx+y^2=raiz20 metros,
dimensionalmente correta, determine as dimensões de alpha e beta se y=raiz20 N.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma expressão envolvendo raízes quadradas e queremos garantir que ela seja dimensionalmente correta, ou seja, que as unidades das grandezas envolvidas façam sentido juntas. Precisamos descobrir quais são as dimensões de e sabendo que . Para isso, vamos usar conceitos básicos de dimensional análise, que ajudam a verificar se uma equação está correta em termos de unidades.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dada:
raizalpha cdot x + beta cdot yx + y^2 = raiz20 metros
Sabemos que o resultado da raiz quadrada é medido em metros, então o que está dentro da raiz deve ter unidades de metros ao quadrado ( ).

Passo 3

Vamos focar na fração dentro da raiz:
alpha cdot x + beta cdot yx + y^2
Para que essa fração tenha unidades de , tanto o numerador quanto o denominador devem ter as mesmas unidades, de forma que ao dividir, as dimensões se cancelem adequadamente.

Passo 4

Vamos determinar as dimensões de cada termo. Sabemos que [Força] = M cdot L cdot T^-2 , então tem dimensão de força, que é:
ç
Onde:
  • M = massa
  • L = comprimento
  • T = tempo

Passo 5

Agora, vamos analisar os termos do numerador . Para que a soma faça sentido, e devem ter as mesmas dimensões.
Vamos supor que tem dimensão de comprimento ( ), mas como não foi especificado, vamos manter genérico.
Então:
  • ç

Passo 6

No denominador , para a soma ser válida, e devem ter as mesmas dimensões.
Sabemos que:
Mas isso não faz sentido, a menos que algum fator de unidade esteja faltando. Isso sugere que deve ter dimensões compatíveis com .
Então, talvez tenha dimensão de para que seja dimensionalmente consistente.

Passo 7

Assumindo que:
[x] = M^-1 cdot L^-1 cdot T^2
Então:
[x + y^2] = M^-1 cdot L^-1 cdot T^2
E o numerador precisa ter a mesma dimensão:
[alpha cdot x + beta cdot y] = M^-1 cdot L^-1 cdot T^2

Passo 8

Vamos igualar as dimensões:
Para [alpha] cdot [x] = [alpha] cdot (M^-1 cdot L^-1 cdot T^2) = M^-1 cdot L^-1 cdot T^2 :
[alpha] = 1
Então:
[beta] cdot [y] = [beta] cdot (M cdot L cdot T^-2) = M^-1 cdot L^-1 cdot T^2
Para [beta] = M^-2 cdot L^-2 cdot T^4 :
Então:

Resposta

As dimensões são:
  • é adimensional (sem unidades).
  • tem dimensão de .

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