Sobre um corpo atua uma força que depende do tempo segundo a equação
onde é a base do logaritmo natural, a força e o tempo. Encontre a equação dimensional para a grandeza , tal que .

Passo 1

Vamos analisar o exercício que você enviou. A questão trata da análise dimensional, que é uma parte da física utilizada para verificar a consistência das equações e relacionar diferentes grandezas físicas. Precisamos encontrar a equação dimensional da grandeza , definida por . Para resolver isso, vamos identificar as dimensões de cada uma das variáveis envolvidas na expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as grandezas presentes na expressão :
  • : Amplitude da força, com dimensão de Força .
  • : Coeficiente no expoente, que deve ser adimensional para que a função exponencial faça sentido.
  • : Coeficiente que multiplica a variável , dimensão a ser determinada.
  • : Variável que está adicionada ao tempo na função seno, dimensão a ser determinada.
  • : Divisor na função seno, dimensão a ser determinada.

Passo 3

Agora, vamos lembrar das dimensões básicas das grandezas físicas:
  • Força : , onde:
    • = massa
    • = comprimento
    • = tempo
Como representa uma força, temos:

Passo 4

Sabemos que o argumento da função exponencial e da função seno deve ser adimensional. Portanto:
Para , o expoente deve ser sem dimensão:
Para , o argumento também deve ser adimensional:
Isso implica que:
Além disso, para a expressão ter a mesma dimensão que , devemos ter:

Passo 5

Agora, vamos determinar as dimensões de . Como e queremos expressar em termos de tempo, podemos assumir que:
Assim, para que , temos:
Portanto, é adimensional.

Passo 6

Agora que já temos as dimensões de todas as grandezas individuais, vamos encontrar a dimensão de :
Substituindo as dimensões:

Resposta

A equação dimensional da grandeza é:

Exercícios relacionados

Dada a expressão
dimensionalmente correta, determine as dimensões de e se .
Se a grandeza representa área e obedece a equação
calcule as dimensões de e para que a expressão acima seja dimensionalmente correta.
Se a equação é dimensionalmente correta, calcule a dimensão da grandeza . Considere que e possuem dimensões de densidade e pressão, respectivamente.
Determine a, b, e c da expressão
que expressa a força centrípeta sentida por um corpo no movimento circular, através da análise dimensional.