Sobre um corpo atua uma força que depende do tempo segundo a equação
F=A cdot e^alpha t cdot sin (beta cdot gamma+tde
onde e é a base do logaritmo natural, F a força e t o tempo. Encontre a equação dimensional para a grandeza S, tal que S=alpha cdot beta cdot gammaA cdot de.

Passo 1

Vamos analisar o exercício que você enviou. A questão trata da análise dimensional, que é uma parte da física utilizada para verificar a consistência das equações e relacionar diferentes grandezas físicas. Precisamos encontrar a equação dimensional da grandeza , definida por . Para resolver isso, vamos identificar as dimensões de cada uma das variáveis envolvidas na expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as grandezas presentes na expressão :
  • : Amplitude da força, com dimensão de Força .
  • : Coeficiente no expoente, que deve ser adimensional para que a função exponencial faça sentido.
  • : Coeficiente que multiplica a variável , dimensão a ser determinada.
  • : Variável que está adicionada ao tempo na função seno, dimensão a ser determinada.
  • : Divisor na função seno, dimensão a ser determinada.

Passo 3

Agora, vamos lembrar das dimensões básicas das grandezas físicas:
  • Força [A] = M cdot L cdot T^-2 : , onde:
    • = massa
    • = comprimento
    • = tempo
Como representa uma força, temos:

Passo 4

Sabemos que o argumento da função exponencial [alpha] cdot [t] = 1 implies [alpha] = T^-1 e da função seno [beta] cdot [gamma][de deve ser adimensional. Portanto:
Para [de, o expoente [beta] cdot [gamma] = T deve ser sem dimensão:
Para , o argumento também deve ser adimensional:
Isso implica que:
Além disso, para a expressão ter a mesma dimensão que , devemos ter:

Passo 5

Agora, vamos determinar as dimensões de [gamma] = T . Como [beta] = 1 e queremos expressar em termos de tempo, podemos assumir que:
Assim, para que , temos:
Portanto, é adimensional.

Passo 6

Agora que já temos as dimensões de todas as grandezas individuais, vamos encontrar a dimensão de S = alpha cdot beta cdot gammaA cdot de:
[S] = [ alpha ] cdot [ beta ] cdot [ gamma ][ A ] cdot [ de
Substituindo as dimensões:

Resposta

A equação dimensional da grandeza [S] = M^-1 cdot L^-1 cdot T é:

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