Sobre um corpo atua uma força que depende do tempo segundo a equação
onde
é a base do logaritmo natural,
a força e
o tempo. Encontre a equação dimensional para a grandeza
, tal que
.
Passo 1
Vamos analisar o exercício que você enviou. A questão trata da análise dimensional, que é uma parte da física utilizada para verificar a consistência das equações e relacionar diferentes grandezas físicas. Precisamos encontrar a equação dimensional da grandeza
, definida por
. Para resolver isso, vamos identificar as dimensões de cada uma das variáveis envolvidas na expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todas as grandezas presentes na expressão
:
-
: Amplitude da força, com dimensão de Força . -
: Coeficiente no expoente, que deve ser adimensional para que a função exponencial faça sentido. -
: Coeficiente que multiplica a variável , dimensão a ser determinada. -
: Variável que está adicionada ao tempo na função seno, dimensão a ser determinada. -
: Divisor na função seno, dimensão a ser determinada.
Passo 3
Agora, vamos lembrar das dimensões básicas das grandezas físicas:
- Força
: , onde: -
= massa -
= comprimento -
= tempo
-
Como
representa uma força, temos:
Passo 4
Sabemos que o argumento da função exponencial
e da função seno
deve ser adimensional. Portanto:
Para
, o expoente
deve ser sem dimensão:
Para
, o argumento
também deve ser adimensional:
Isso implica que:
Além disso, para a expressão
ter a mesma dimensão que
, devemos ter:
Passo 5
Agora, vamos determinar as dimensões de
. Como
e queremos expressar
em termos de tempo, podemos assumir que:
Assim, para que
, temos:
Portanto,
é adimensional.
Passo 6
Agora que já temos as dimensões de todas as grandezas individuais, vamos encontrar a dimensão de
:
Substituindo as dimensões:
Resposta
A equação dimensional da grandeza
é:
Exercícios relacionados
Dada a expressão
dimensionalmente correta, determine as dimensões de
e
se
.
Se a grandeza
representa área e obedece a equação
calcule as dimensões de
e
para que a expressão acima seja dimensionalmente correta.
Se a equação
é dimensionalmente correta, calcule a dimensão da grandeza
. Considere que
e
possuem dimensões de densidade e pressão, respectivamente.
Determine a, b, e c da expressão
que expressa a força centrípeta sentida por um corpo no movimento circular, através da análise dimensional.