Dada F(p)=Lf(x), obtenha f(x). Mostre os detalhes do que fizer. ( L, n, k, a, b são constantes.)
h) 1(p-raiz3)(p+raiz5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é a Transformada de Laplace de alguma função . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é essa . O enunciado nos dá . Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que ajuda a quebrar essa fração complicada em frações mais simples que a gente já conhece a transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar 1(p - raiz3)(p + raiz5) = Ap - raiz3 + Bp + raiz5 como soma de duas frações mais simples. Ou seja, vamos achar constantes e tais que:

Passo 3

Para encontrar 1 = A(p + raiz5) + B(p - raiz3) e , vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Agora, vamos escolher valores de 1 = A(raiz3 + raiz5) + B(raiz3 - raiz3) Rightarrow 1 = A(raiz3 + raiz5) Rightarrow A = 1raiz3 + raiz5 que facilitem encontrar e . Primeiro, vamos deixar :

Passo 5

Em seguida, vamos escolher 1 = A(-raiz5 + raiz5) + B(-raiz5 - raiz3) Rightarrow 1 = B(-raiz5 - raiz3) Rightarrow B = 1-raiz5 - raiz3 = -1raiz3 + raiz5 :

Passo 6

Agora que temos F(p) = 1raiz3 + raiz5 cdot 1p - raiz3 - 1raiz3 + raiz5 cdot 1p + raiz5 e , podemos reescrever :

Passo 7

Sabemos que a Transformada de Laplace de Le^raiz3 x = 1p - raiz3 e Le^-raiz5 x = 1p + raiz5 é . Usando isso, a gente pode identificar cada termo da nossa fração:

Passo 8

Então, aplicando a Transformada de Laplace inversa em f(x) = 1raiz3 + raiz5 cdot e^raiz3 x - 1raiz3 + raiz5 cdot e^-raiz5 x , temos:

Resposta

f(x) = e^raiz3,x - e^-raiz5,xraiz3 + raiz5

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