Dada
, obtenha
. Mostre os detalhes do que fizer. (
são constantes.)
i)
i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função no espaço da transformada de Laplace, que é
. O objetivo aqui é encontrar a função original
no domínio do tempo. Para isso, vamos usar conhecimentos de transformada de Laplace, especialmente de frações parciais e das transformadas inversas básicas.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa simplificar a expressão de
. Observa que o denominador
pode ser fatorado:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método de frações parciais para decompor
em termos mais simples. Queremos escrever:
Onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados da equação pelos denominadores, temos:
Agora, expandindo e reorganizando:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações:
- Da primeira equação:
⇒ - Da segunda equação:
Somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos reescrever
:
Podemos simplificar cada termo dividindo numerador e denominador por 3:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a transformada inversa de Laplace de cada termo. Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos termos:
- Para
, identificamos . - Para
, identificamos .
Passo 8
Calculando as transformadas inversas:
Passo 9
Somando as duas partes, temos a função original
:
Resposta
A função original é: