Dada f: X -> Y, prove:
Se X for infinito e se f for injetora, então, Y é infinito.

Passo 1

Então, a gente tem uma função e precisa provar que se o conjunto é infinito e a função é injetora (ou seja, não repete elementos), então o conjunto também tem que ser infinito. Vamos usar conceitos de teoria dos conjuntos e funções injetoras para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser injetora. Uma função é injetora se, para todo , se então . Isso significa que cada elemento de é mapeado para um elemento único em .

Passo 3

Agora, como é infinito, vamos considerar que não há um número finito de elementos em . Se é injetora, cada um desses elementos infinitos de tem que ser mapeado para um elemento distinto em .

Passo 4

Se fosse finito, digamos que tem elementos, então só poderíamos mapear no máximo elementos de para sem repetir, o que contraria o fato de ser infinito e ser injetora. Isso não é possível porque estamos tentando mapear infinitos elementos para um conjunto finito de formas únicas.

Passo 5

Portanto, para que cada elemento de tenha um destino único em sem repetições, também precisa ter infinitos elementos. Caso contrário, não daria para manter a injetividade.

Resposta

Assim, provamos que se é infinito e é injetora, então deve ser infinito.

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