Dada , prove:
Se for infinito e se for sobrejetora, então, é infinito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está nos pedindo para provar que se temos uma função que é sobrejetora (ou seja, atingimos todo o conjunto ), e se o conjunto é infinito, então o conjunto também precisa ser infinito. Vamos usar conhecimentos de função, conjuntos infinitos e propriedades de sobrejetividade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo elemento do conjunto de chegada ( ) é imagem de pelo menos um elemento do conjunto de partida ( ). Em outras palavras, não sobra nenhum elemento em que não seja alcançado por .

Passo 3

Agora, vamos considerar que o conjunto é infinito. Isso quer dizer que não conseguimos contar todos os seus elementos; ele não tem um número finito de elementos.

Passo 4

Vamos supor, para chegar a uma contradição, que o conjunto seja finito. Se tem um número finito de elementos, digamos , então a função só pode produzir no máximo imagens diferentes em . Isso porque cada elemento de está mapeado para algum elemento de , e com elementos em , não dá para cobrir um infinito.

Passo 5

Mas nós sabemos que é sobrejetora e é infinito. Se fosse finito, não conseguiríamos mapear todos os elementos infinitos de usando apenas um número finito de elementos de . Isso cria uma contradição, já que deveria cobrir todo .

Passo 6

Portanto, a única possibilidade que não leva a contradição é que o conjunto também seja infinito. Assim, conseguimos mapear cada elemento de um infinito usando um infinito na função sobrejetora .

Resposta

Portanto, é infinito.

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Existe uma função injetora .
Sejam um conjunto finito e um conjunto infinito. Prove que:
Existe uma função sobrejetora .