Dada f: X -> Y, prove:
Se Y for infinito e se f for sobrejetora, então, X é infinito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está nos pedindo para provar que se temos uma função f: X -> Y que é sobrejetora (ou seja, atingimos todo o conjunto Y), e se o conjunto Y é infinito, então o conjunto X também precisa ser infinito. Vamos usar conhecimentos de função, conjuntos infinitos e propriedades de sobrejetividade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função f ser sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo elemento do conjunto de chegada ( Y) é imagem de pelo menos um elemento do conjunto de partida ( X). Em outras palavras, não sobra nenhum elemento em Y que não seja alcançado por f.

Passo 3

Agora, vamos considerar que o conjunto Y é infinito. Isso quer dizer que não conseguimos contar todos os seus elementos; ele não tem um número finito de elementos.

Passo 4

Vamos supor, para chegar a uma contradição, que o conjunto X seja finito. Se X tem um número finito de elementos, digamos n, então a função f só pode produzir no máximo n imagens diferentes em Y. Isso porque cada elemento de X está mapeado para algum elemento de Y, e com n elementos em X, não dá para cobrir um Y infinito.

Passo 5

Mas nós sabemos que f é sobrejetora e Y é infinito. Se X fosse finito, não conseguiríamos mapear todos os elementos infinitos de Y usando apenas um número finito de elementos de X. Isso cria uma contradição, já que f deveria cobrir todo Y.

Passo 6

Portanto, a única possibilidade que não leva a contradição é que o conjunto X também seja infinito. Assim, conseguimos mapear cada elemento de um Y infinito usando um X infinito na função sobrejetora f.

Resposta

Portanto, X é infinito.

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