Dada
, prove:
Se
for infinito e se
for sobrejetora, então,
é infinito.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está nos pedindo para provar que se temos uma função
que é sobrejetora (ou seja, atingimos todo o conjunto
), e se o conjunto
é infinito, então o conjunto
também precisa ser infinito. Vamos usar conhecimentos de função, conjuntos infinitos e propriedades de sobrejetividade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função
ser sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo elemento do conjunto de chegada (
) é imagem de pelo menos um elemento do conjunto de partida (
). Em outras palavras, não sobra nenhum elemento em
que não seja alcançado por
.
Passo 3
Agora, vamos considerar que o conjunto
é infinito. Isso quer dizer que não conseguimos contar todos os seus elementos; ele não tem um número finito de elementos.
Passo 4
Vamos supor, para chegar a uma contradição, que o conjunto
seja finito. Se
tem um número finito de elementos, digamos
, então a função
só pode produzir no máximo
imagens diferentes em
. Isso porque cada elemento de
está mapeado para algum elemento de
, e com
elementos em
, não dá para cobrir um
infinito.
Passo 5
Mas nós sabemos que
é sobrejetora e
é infinito. Se
fosse finito, não conseguiríamos mapear todos os elementos infinitos de
usando apenas um número finito de elementos de
. Isso cria uma contradição, já que
deveria cobrir todo
.
Passo 6
Portanto, a única possibilidade que não leva a contradição é que o conjunto
também seja infinito. Assim, conseguimos mapear cada elemento de um
infinito usando um
infinito na função sobrejetora
.
Resposta
Portanto,
é infinito.
Exercícios relacionados
Dada
, prove:
Se for infinito e se
for injetora, então,
é infinito.
Se
Prove o Princípio das Casas de Pombo: Se
, então, não existe uma função injetora
.
Sejam
um conjunto finito e
um conjunto infinito. Prove que:
Existe uma função injetora .
Existe uma função injetora
Sejam
um conjunto finito e
um conjunto infinito. Prove que:
Existe uma função sobrejetora .
Existe uma função sobrejetora