Prove que todo conjunto finito não-vazio de números naturais contém um elemento máximo (isto é, existe tal que ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que todo conjunto finito e não-vazio de números naturais tem um elemento máximo. Isso significa que existe um número em que é maior ou igual a todos os outros números do conjunto. Para resolver isso, vamos usar princípios básicos de conjuntos finitos e propriedades dos números naturais.

Passo 2

Primeiro, como é finito e não-vazio, podemos listar todos os seus elementos. Vamos supor que , onde é o número de elementos em .

Passo 3

Agora, vamos pensar em como encontrar o maior elemento nessa lista. Começamos comparando os primeiros dois elementos: e . Entre eles, apontamos qual é maior. Vamos chamar esse elemento de .

Passo 4

A seguir, comparamos com o próximo elemento . Entre esses dois, escolhemos o maior e chamamos de .

Passo 5

Continuamos esse processo até chegar ao último elemento . Em cada passo, comparamos o máximo atual com o próximo elemento da lista e atualizamos o máximo.

Passo 6

No final desse processo, teremos comparado todos os elementos de , e o último máximo encontrado será o maior elemento do conjunto, ou seja, .

Resposta

Portanto, todo conjunto finito e não-vazio de números naturais contém um elemento máximo , onde para todo .

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