Prove que todo conjunto finito não-vazio
de números naturais contém um elemento máximo (isto é, existe
tal que
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que todo conjunto finito e não-vazio
de números naturais tem um elemento máximo. Isso significa que existe um número
em
que é maior ou igual a todos os outros números do conjunto. Para resolver isso, vamos usar princípios básicos de conjuntos finitos e propriedades dos números naturais.
Passo 2
Primeiro, como
é finito e não-vazio, podemos listar todos os seus elementos. Vamos supor que
, onde
é o número de elementos em
.
Passo 3
Agora, vamos pensar em como encontrar o maior elemento nessa lista. Começamos comparando os primeiros dois elementos:
e
. Entre eles, apontamos qual é maior. Vamos chamar esse elemento de
.
Passo 4
A seguir, comparamos
com o próximo elemento
. Entre esses dois, escolhemos o maior e chamamos de
.
Passo 5
Continuamos esse processo até chegar ao último elemento
. Em cada passo, comparamos o máximo atual com o próximo elemento da lista e atualizamos o máximo.
Passo 6
No final desse processo, teremos comparado todos os elementos de
, e o último máximo encontrado será o maior elemento do conjunto, ou seja,
.
Resposta
Portanto, todo conjunto finito e não-vazio
de números naturais contém um elemento máximo
, onde
para todo
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
dois conjuntos.
Determine o número de sobrejeções possíveis de em
.
Determine o número de sobrejeções possíveis de
Sejam
e
dois conjuntos.
Determine o número de injeções possíveis de em
.
Determine o número de injeções possíveis de
Prove o Princípio das Casas de Pombo: Se
, então, não existe uma função injetora
.
Dada
, prove:
Se for infinito e se
for injetora, então,
é infinito.
Se