Sejam
um conjunto finito e
um conjunto infinito. Prove que:
Existe uma função injetora
.
Existe uma função injetora
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Teoria dos Conjuntos, especificamente sobre funções injetoras. O problema nos pede para provar que, dado um conjunto finito
que não é vazio e um conjunto infinito
, existe uma função injetora
. Para isso, vamos precisar entender o que é uma função injetora e como podemos construí-la entre esses conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função injetora. Uma função
é injetora se, para todo
, sempre que
, então
. Isso significa que cada elemento de
é mapeado para um elemento único em
, sem repetições.
Passo 3
Como
é um conjunto finito e não vazio, podemos listar seus elementos:
, onde
é o número de elementos em
. Já
é um conjunto infinito, o que significa que possui infinitos elementos.
Passo 4
Para construir uma função injetora
, precisamos associar cada
em
a um elemento único em
. Como
é infinito, temos “espaço” suficiente para atribuir elementos distintos a cada
sem repetir valores.
Passo 5
Vamos definir a função
da seguinte forma:
onde
são elementos distintos de
. Como selecionaremos elementos únicos para cada
, garantimos que
seja injetora.
Passo 6
Como
é infinito, sempre podemos encontrar pelo menos
elementos distintos em
para associar aos
elementos de
. Portanto, a função
definida é de fato injetora.
Resposta
Existe, de fato, uma função injetora
, conforme demonstrado.
Exercícios relacionados
Dada
, prove:
Se for infinito e se
for sobrejetora, então,
é infinito.
Se
Dada
, prove:
Se for infinito e se
for injetora, então,
é infinito.
Se
Sejam
um conjunto finito e
um conjunto infinito. Prove que:
Existe uma função sobrejetora .
Existe uma função sobrejetora
Prove que existe
uma função sobrejetora tal que
é infinito, para cada
.