Sejam um conjunto finito e um conjunto infinito. Prove que:
Existe uma função injetora .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Teoria dos Conjuntos, especificamente sobre funções injetoras. O problema nos pede para provar que, dado um conjunto finito que não é vazio e um conjunto infinito , existe uma função injetora . Para isso, vamos precisar entender o que é uma função injetora e como podemos construí-la entre esses conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função injetora. Uma função é injetora se, para todo , sempre que , então . Isso significa que cada elemento de é mapeado para um elemento único em , sem repetições.

Passo 3

Como é um conjunto finito e não vazio, podemos listar seus elementos: , onde é o número de elementos em . Já é um conjunto infinito, o que significa que possui infinitos elementos.

Passo 4

Para construir uma função injetora , precisamos associar cada em a um elemento único em . Como é infinito, temos “espaço” suficiente para atribuir elementos distintos a cada sem repetir valores.

Passo 5

Vamos definir a função da seguinte forma:
onde são elementos distintos de . Como selecionaremos elementos únicos para cada , garantimos que seja injetora.

Passo 6

Como é infinito, sempre podemos encontrar pelo menos elementos distintos em para associar aos elementos de . Portanto, a função definida é de fato injetora.

Resposta

Existe, de fato, uma função injetora , conforme demonstrado.

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Prove que existe uma função sobrejetora tal que é infinito, para cada .