Sejam um conjunto finito e um conjunto infinito. Prove que:
Existe uma função sobrejetora .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto finito que não é vazio e um conjunto infinito . Nosso objetivo aqui é provar que existe uma função sobrejetora . Ou seja, queremos mostrar que todo elemento de é atingido por pelo menos um elemento de através da função . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função sobrejetora e como podemos construir uma função que cumpra essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função sobrejetora. Uma função é chamada de sobrejetora se, para todo elemento em , existe pelo menos um elemento em tal que . Ou seja, todo elemento de tem um “antecessor” em .
Passo 3
Agora, como é um conjunto infinito e é finito, isso nos dá uma vantagem. Podemos dividir em partes que correspondam aos elementos de . Por exemplo, se tem elementos, podemos imaginar que está dividido em subconjuntos, cada um mapeando para um elemento diferente de .
Passo 4
Vamos formalizar isso. Seja . Como é infinito, podemos escrever como a união infinita de subconjuntos , onde cada é não vazio e disjunto dos outros. Definimos então a função da seguinte maneira:
Passo 5
Com essa definição, garantimos que para cada em , existe um subconjunto em tal que todos os elementos de são mapeados para . Como cada não é vazio, isso significa que todo tem pelo menos um correspondente, cumprindo a condição de sobrejetividade.
Resposta
Portanto, construímos uma função que é sobrejetora, provando que existe uma função sobrejetora do conjunto infinito para o conjunto finito .