Sejam um conjunto finito e um conjunto infinito. Prove que:
Existe uma função sobrejetora .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto finito que não é vazio e um conjunto infinito . Nosso objetivo aqui é provar que existe uma função sobrejetora . Ou seja, queremos mostrar que todo elemento de é atingido por pelo menos um elemento de através da função . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função sobrejetora e como podemos construir uma função que cumpra essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função sobrejetora. Uma função é chamada de sobrejetora se, para todo elemento em , existe pelo menos um elemento em tal que . Ou seja, todo elemento de tem um “antecessor” em .

Passo 3

Agora, como é um conjunto infinito e é finito, isso nos dá uma vantagem. Podemos dividir em partes que correspondam aos elementos de . Por exemplo, se tem elementos, podemos imaginar que está dividido em subconjuntos, cada um mapeando para um elemento diferente de .

Passo 4

Vamos formalizar isso. Seja . Como é infinito, podemos escrever como a união infinita de subconjuntos , onde cada é não vazio e disjunto dos outros. Definimos então a função da seguinte maneira:

Passo 5

Com essa definição, garantimos que para cada em , existe um subconjunto em tal que todos os elementos de são mapeados para . Como cada não é vazio, isso significa que todo tem pelo menos um correspondente, cumprindo a condição de sobrejetividade.

Resposta

Portanto, construímos uma função que é sobrejetora, provando que existe uma função sobrejetora do conjunto infinito para o conjunto finito .

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Sejam um conjunto finito e um conjunto infinito. Prove que:
Existe uma função injetora .
Dada , prove:
Se for infinito e se for sobrejetora, então, é infinito.
Prove que existe uma função sobrejetora tal que é infinito, para cada .
A função f definida por é contínua em ? Prove (use a definição de função contínua).