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Sejam os vetores e . Mostrar que o triplo produto pode ser escrito como o determinante da matriz
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem três vetores no espaço: A, B e C, cada um com suas componentes nas direções x, y e z. O exercício quer que a gente mostre que o produto escalar triplo A cdot (B times C) pode ser escrito como o determinante de uma matriz formada pelas componentes desses vetores. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o produto vetorial, o produto escalar e o determinante de uma matriz 3x3.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores, digamos B times C, resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. As componentes desse vetor são dadas por:
B times C = ( By Cz - Bz Cy, , Bz Cx - Bx Cz, , Bx Cy - By Cx )
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar entre o vetor A e o vetor resultante do produto vetorial B times C. O produto escalar de dois vetores A e D (onde D = B times C) é:
A cdot D = Ax Dx + Ay Dy + Az Dz
Substituindo as componentes de D:
A cdot (B times C) = Ax (By Cz - Bz Cy) + Ay (Bz Cx - Bx Cz) + Az (Bx Cy - By Cx)
Passo 4
Agora, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 3x3. Para a matriz:
Ax & Ay & Az Bx & By & Bz Cx & Cy & Cz
O determinante é calculado da seguinte forma:
Det = Ax (By Cz - Bz Cy) - Ay (Bx Cz - Bz Cx) + Az (Bx Cy - By Cx)
Passo 5
Vamos comparar as duas expressões que obtivemos:
O produto escalar triplo:
A cdot (B times C) = Ax (By Cz - Bz Cy) + Ay (Bz Cx - Bx Cz) + Az (Bx Cy - By Cx)
O determinante da matriz:
Det = Ax (By Cz - Bz Cy) - Ay (Bx Cz - Bz Cx) + Az (Bx Cy - By Cx)
Observamos que as duas expressões são iguais, já que a ordem dos termos no segundo termo do determinante é invertida, mas isso é compensado pelo sinal negativo na frente de Ay.
Resposta
Portanto, mostramos que o triplo produto A cdot (B times C) pode ser escrito como o determinante da matriz: