Dada a função abaixo:f(x)=sen(4x²). Calcule ∂2f / ∂x2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a segunda derivada da função $ f(x) = \sin(4x^2) $. Isso está na área de Cálculo Diferencial, especificamente envolvendo derivadas de funções compostas. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia e saber como derivar funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $. A função é $ f(x) = \sin(4x^2) $. Para derivar isso, usamos a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função dentro de outra função.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia: a derivada de $ \sin(u) $ é $ \cos(u) \cdot \frac{du}{dx} $, onde $ u = 4x^2 $. Então, vamos derivar $ 4x^2 $ em relação a $ x $.

Passo 4

Derivando $ u = 4x^2 $, temos $ \frac{du}{dx} = 8x $. Agora, substituímos de volta na regra da cadeia.

Passo 5

Então, a primeira derivada fica:
f'(x) = cos(4x^2) cdot 8x
Ou seja,
f'(x) = 8x cos(4x^2)

Passo 6

Agora, vamos encontrar a segunda derivada, $ f’’(x) $. Precisamos derivar $ f’(x) = 8x \cos(4x^2) $. Aqui, usamos a regra do produto, pois temos um produto de duas funções: $ 8x $ e $ \cos(4x^2) $.

Passo 7

A regra do produto diz que $ \frac{d}{dx}[u \cdot v] = u’ \cdot v + u \cdot v’ $. Vamos aplicar isso:
ddx[u cdot v] = u' cdot v + u cdot v'
u = 8x Rightarrow u' = 8
(Usamos novamente a regra da cadeia para derivar $ \cos(4x^2) $)

Passo 8

Substituindo na regra do produto:
f''(x) = u' cdot v + u cdot v' = 8 cdot cos(4x^2) + 8x cdot (-sin(4x^2) cdot 8x)

Passo 9

Simplificando a expressão:
f''(x) = 8 cos(4x^2) - 64x^2 sin(4x^2)

Resposta

A segunda derivada de $ f(x) = \sin(4x^2) $ é:
f(x) = sin(4x^2)

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