Dada a função abaixo:f(x)=sen(4x²). Calcule ∂2f / ∂x2.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a segunda derivada da função $ f(x) = \sin(4x^2) $. Isso está na área de Cálculo Diferencial, especificamente envolvendo derivadas de funções compostas. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia e saber como derivar funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $. A função é $ f(x) = \sin(4x^2) $. Para derivar isso, usamos a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função dentro de outra função.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia: a derivada de $ \sin(u) $ é $ \cos(u) \cdot \frac{du}{dx} $, onde $ u = 4x^2 $. Então, vamos derivar $ 4x^2 $ em relação a $ x $.
Passo 4
Derivando $ u = 4x^2 $, temos $ \frac{du}{dx} = 8x $. Agora, substituímos de volta na regra da cadeia.
Passo 5
Então, a primeira derivada fica:
Ou seja,
Passo 6
Agora, vamos encontrar a segunda derivada, $ f’’(x) $. Precisamos derivar $ f’(x) = 8x \cos(4x^2) $. Aqui, usamos a regra do produto, pois temos um produto de duas funções: $ 8x $ e $ \cos(4x^2) $.
Passo 7
A regra do produto diz que $ \frac{d}{dx}[u \cdot v] = u’ \cdot v + u \cdot v’ $. Vamos aplicar isso:
(Usamos novamente a regra da cadeia para derivar $ \cos(4x^2) $)
Passo 8
Substituindo na regra do produto:
Passo 9
Simplificando a expressão:
Resposta
A segunda derivada de $ f(x) = \sin(4x^2) $ é: