Determine a imagem e o período da função f(x)=3sen x
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a imagem e o período da função $ f(x) = 3\sin x $. A gente vai trabalhar com funções trigonométricas, especificamente a função seno. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são imagem e período de uma função trigonométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir, ou seja, todos os possíveis resultados de $ f(x) $.
A função básica $ \sin x $ tem uma imagem que varia entre -1 e 1. Quando multiplicamos a função seno por 3, estamos aumentando sua amplitude. A amplitude é a altura máxima que a função atinge a partir do eixo x.
Então, se $ \sin x $ vai de -1 a 1, $ 3\sin x $ vai de:
Isso significa que a imagem da função $ f(x) = 3\sin x $ é o intervalo entre -3 e 3.
Passo 3
Agora, vamos descobrir o período da função. O período é o intervalo de $ x $ no qual a função completa um ciclo completo de variação e começa a se repetir.
A função básica $ \sin x $ tem um período de $ 2\pi $ radianos. Se a função fosse $ \sin(bx) $, o período seria $ \frac{2\pi}{b} $. No nosso caso, não há nenhum coeficiente multiplicando $ x $ dentro do seno, então $ b = 1 $.
Portanto, o período da função $ f(x) = 3\sin x $ é:
Resposta
A imagem da função $ f(x) = 3\sin x $ é o intervalo
e o seu período é $ 2\pi $.