Calcule a função de probabilidade da variável cuja f.d.a. é F(cdot). Calcule ainda o valor esperado e a variância de X. Determine as seguintes probabilidades:
P(1 <= X<2), P(X=4), P(X>3), P(X <= 4)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de distribuição acumulada (FDA) chamada e precisamos encontrar a função de probabilidade dessa variável aleatória , além de calcular o valor esperado, a variância e algumas probabilidades específicas. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade discreta, onde a FDA nos ajuda a entender as probabilidades associadas aos diferentes valores que pode assumir.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função de distribuição acumulada (FDA). A FDA, , nos dá a probabilidade de que a variável aleatória seja menor ou igual a um certo valor , ou seja, . No nosso caso, a FDA está definida de forma segmentada para diferentes intervalos de .
Passo 3
Para encontrar a função de probabilidade (também conhecida como função massa de probabilidade, FMP), precisamos identificar os saltos na FDA. Cada salto corresponde à probabilidade de P(X = x) = F(x) - F(x^-) assumir exatamente aquele valor. A FMP, , é calculada pela diferença entre e o limite à esquerda de , ou seja:
Passo 4
Vamos calcular a FMP para cada valor de P(X = 1) = F(1) - F(1^-) = 0.1 - 0 = 0.1 :
Para P(X = 2) = F(2) - F(2^-) = 0.3 - 0.1 = 0.2 :
P(X = 3) = F(3) - F(3^-) = 0.7 - 0.3 = 0.4
Para P(X = 4) = F(4) - F(4^-) = 0.8 - 0.7 = 0.1 :
P(X = 5) = F(5) - F(5^-) = 1 - 0.8 = 0.2
Para :
Para :
Para :
Passo 5
Agora que temos a função de probabilidade, vamos resumir:
P(X = x) = 0.1 & se x = 1 0.2 & se x = 2 0.4 & se x = 3 0.1 & se x = 4 0.2 & se x = 5 0 & caso contrário á
Passo 6
Vamos calcular o valor esperado E[X] = sumx x cdot P(X = x) . O valor esperado é a média ponderada dos valores que E[X] = 1 cdot 0.1 + 2 cdot 0.2 + 3 cdot 0.4 + 4 cdot 0.1 + 5 cdot 0.2 pode assumir, ponderada pelas suas respectivas probabilidades:
E[X] = 0.1 + 0.4 + 1.2 + 0.4 + 1.0 = 3.1
Substituindo os valores:
Passo 7
Agora, vamos calcular a variância E[X^2] = sumx x^2 cdot P(X = x) . A variância mede a dispersão dos valores de E[X^2] = 1^2 cdot 0.1 + 2^2 cdot 0.2 + 3^2 cdot 0.4 + 4^2 cdot 0.1 + 5^2 cdot 0.2 em relação ao valor esperado. Primeiro, calculamos E[X^2] = 0.1 + 0.8 + 3.6 + 1.6 + 5.0 = 10.1 :