Dada a função de distribuição acumulada
Calcule a função de probabilidade da variável cuja f.d.a. é . Calcule ainda o valor esperado e a variância de . Determine as seguintes probabilidades:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de distribuição acumulada (FDA) chamada e precisamos encontrar a função de probabilidade dessa variável aleatória , além de calcular o valor esperado, a variância e algumas probabilidades específicas. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade discreta, onde a FDA nos ajuda a entender as probabilidades associadas aos diferentes valores que pode assumir.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função de distribuição acumulada (FDA). A FDA, , nos dá a probabilidade de que a variável aleatória seja menor ou igual a um certo valor , ou seja, . No nosso caso, a FDA está definida de forma segmentada para diferentes intervalos de .

Passo 3

Para encontrar a função de probabilidade (também conhecida como função massa de probabilidade, FMP), precisamos identificar os saltos na FDA. Cada salto corresponde à probabilidade de assumir exatamente aquele valor. A FMP, , é calculada pela diferença entre e o limite à esquerda de , ou seja:

Passo 4

Vamos calcular a FMP para cada valor de :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Agora que temos a função de probabilidade, vamos resumir:
á

Passo 6

Vamos calcular o valor esperado . O valor esperado é a média ponderada dos valores que pode assumir, ponderada pelas suas respectivas probabilidades:
Substituindo os valores:

Passo 7

Agora, vamos calcular a variância . A variância mede a dispersão dos valores de em relação ao valor esperado. Primeiro, calculamos :
Agora, a variância é:

Passo 8

Vamos agora calcular as probabilidades específicas solicitadas:
  1. :
Como só assume valores inteiros, significa .
  1. :
Já calculamos isso:
  1. :
Isso inclui os valores de que são maiores que 3, ou seja, e .
  1. :
É a soma das probabilidades de ser 1, 2, 3 ou 4.

Resposta

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a) Ache o conjunto de valores possíveis de e a sua distribuição de probabilidade.
b) Porque não temos distribuição binomial em a)?
c) Calcule .
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