Seja X uma variável aleatória discreta com P(X=0)=0.25, P(X=1)=0.125, P(X=2)= 0.125, P(X=3)=0.5. Faça um gráfico da função de probabilidade e da função de distribuição acumulada. Calcule o valor esperado e a variância de X. Determine as seguintes probabilidades:
P(03), P(X>2.5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória discreta X com as seguintes probabilidades:
P(X=0)=0.25, P(X=1)=0.125, P(X=2)=0.125, P(X=3)=0.5
O que a gente precisa fazer é:
  1. Fazer um gráfico da função de probabilidade e da função de distribuição acumulada.
  2. Calcular o valor esperado (ou média) e a variância de X.
  3. Determinar algumas probabilidades específicas.
Para isso, vamos usar conceitos de Probabilidade e Estatística sobre variáveis aleatórias discretas.

Passo 2

Primeiro, vamos plotar a função de probabilidade de X. Essa função mostra a probabilidade de cada valor que X pode assumir.
Os valores de X são 0, 1, 2 e 3, com probabilidades 0.25, 0.125, 0.125 e 0.5, respectivamente.
Gráfico da Função de Probabilidade:
|   
|           *
|           *
|     *     *
|     *  *  *
|____________________
    0  1  2  3
Cada asterisco representa a probabilidade associada a cada valor de X.

Passo 3

Agora, vamos plotar a função de distribuição acumulada (FDC) de X. A FDC mostra a probabilidade de X ser menor ou igual a um certo valor.
Calculamos a FDC somando as probabilidades até cada valor:
  • F(0) = P(X <= 0) = 0.25
  • F(1) = P(X <= 1) = 0.25 + 0.125 = 0.375
  • F(2) = P(X <= 2) = 0.375 + 0.125 = 0.5
  • F(3) = P(X <= 3) = 0.5 + 0.5 = 1.0
Gráfico da Função de Distribuição Acumulada:
1.0 |                *
    |           *
0.5 |     *
    |  *
0.0 |____________________
      0  1  2  3
Cada ponto mostra a probabilidade acumulada até aquele valor de X.

Passo 4

Vamos calcular o valor esperado (ou média) de X. O valor esperado dá uma ideia do “centro” da distribuição de X.
A fórmula é:
E(X) = sum x cdot P(X=x)
Calculando:
E(X) = 0 cdot 0.25 + 1 cdot 0.125 + 2 cdot 0.125 + 3 cdot 0.5 = 0 + 0.125 + 0.25 + 1.5 = 1.875

Passo 5

Agora, vamos calcular a variância de X. A variância mostra o quanto os valores de X estão espalhados em relação ao valor esperado.
A fórmula é:
Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2
Primeiro, calculamos E(X^2):
E(X^2) = 0^2 cdot 0.25 + 1^2 cdot 0.125 + 2^2 cdot 0.125 + 3^2 cdot 0.5 = 0 + 0.125 + 0.5 + 4.5 = 5.125
Então,
Var(X) = 5.125 - (1.875)^2 = 5.125 - 3.515625 = 1.609375

Passo 6

Vamos determinar as seguintes probabilidades:
  1. P(0 < X < 1)
Isso significa a probabilidade de X ser maior que 0 e menor que 1. Olhando os valores possíveis de X, só temos X=0,1,2,3. Não há nenhum valor entre 0 e 1, então:
P(0 < X < 1) = 0
  1. P(X <= 2)
Já calculamos isso na função de distribuição acumulada:
P(X <= 2) = F(2) = 0.5
  1. P(X > 3)
Como o maior valor que X pode assumir é 3:
P(X > 3) = 0
  1. P(X > 2.5)
Como X só pode ser 0,1,2 ou 3, “maior que 2.5” só inclui X=3:
P(X > 2.5) = P(X=3) = 0.5

Resposta

  • Valor Esperado de X: E(X) = 1.875
  • Variância de X: Var(X) = 1.609375
  • P(0 < X < 1) = 0
  • P(X <= 2) = 0.5
  • P(X > 3) = 0
  • P(X > 2.5) = 0.5

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