Seja
uma variável aleatória discreta com
. Faça um gráfico da função de probabilidade e da função de distribuição acumulada. Calcule o valor esperado e a variância de
. Determine as seguintes probabilidades:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória discreta
com as seguintes probabilidades:
O que a gente precisa fazer é:
- Fazer um gráfico da função de probabilidade e da função de distribuição acumulada.
- Calcular o valor esperado (ou média) e a variância de
. - Determinar algumas probabilidades específicas.
Para isso, vamos usar conceitos de Probabilidade e Estatística sobre variáveis aleatórias discretas.
Passo 2
Primeiro, vamos plotar a função de probabilidade de
. Essa função mostra a probabilidade de cada valor que
pode assumir.
Os valores de
são 0, 1, 2 e 3, com probabilidades 0.25, 0.125, 0.125 e 0.5, respectivamente.
Gráfico da Função de Probabilidade:
|
| *
| *
| * *
| * * *
|____________________
0 1 2 3
Cada asterisco representa a probabilidade associada a cada valor de
.
Passo 3
Agora, vamos plotar a função de distribuição acumulada (FDC) de
. A FDC mostra a probabilidade de
ser menor ou igual a um certo valor.
Calculamos a FDC somando as probabilidades até cada valor:
Gráfico da Função de Distribuição Acumulada:
1.0 | *
| *
0.5 | *
| *
0.0 |____________________
0 1 2 3
Cada ponto mostra a probabilidade acumulada até aquele valor de
.
Passo 4
Vamos calcular o valor esperado (ou média) de
. O valor esperado dá uma ideia do “centro” da distribuição de
.
A fórmula é:
Calculando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a variância de
. A variância mostra o quanto os valores de
estão espalhados em relação ao valor esperado.
A fórmula é:
Primeiro, calculamos
:
Então,
Passo 6
Vamos determinar as seguintes probabilidades:
Isso significa a probabilidade de
ser maior que 0 e menor que 1. Olhando os valores possíveis de
, só temos
. Não há nenhum valor entre 0 e 1, então:
Já calculamos isso na função de distribuição acumulada:
Como o maior valor que
pode assumir é 3:
Como
só pode ser 0,1,2 ou 3, “maior que 2.5” só inclui
:
Resposta
- Valor Esperado de
: - Variância de
: -
-
-
-
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a) Ache o conjunto de valores possíveis de
b) Porque não temos distribuição binomial em a)?
c) Calcule
Dada a função de distribuição acumulada
Calcule a função de probabilidade da variável cuja f.d.a. é
. Calcule ainda o valor esperado e a variância de
. Determine as seguintes probabilidades: