Seja uma variável aleatória discreta com . Faça um gráfico da função de probabilidade e da função de distribuição acumulada. Calcule o valor esperado e a variância de . Determine as seguintes probabilidades:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória discreta com as seguintes probabilidades:
O que a gente precisa fazer é:
  1. Fazer um gráfico da função de probabilidade e da função de distribuição acumulada.
  2. Calcular o valor esperado (ou média) e a variância de .
  3. Determinar algumas probabilidades específicas.
Para isso, vamos usar conceitos de Probabilidade e Estatística sobre variáveis aleatórias discretas.

Passo 2

Primeiro, vamos plotar a função de probabilidade de . Essa função mostra a probabilidade de cada valor que pode assumir.
Os valores de são 0, 1, 2 e 3, com probabilidades 0.25, 0.125, 0.125 e 0.5, respectivamente.
Gráfico da Função de Probabilidade:
|   
|           *
|           *
|     *     *
|     *  *  *
|____________________
    0  1  2  3
Cada asterisco representa a probabilidade associada a cada valor de .

Passo 3

Agora, vamos plotar a função de distribuição acumulada (FDC) de . A FDC mostra a probabilidade de ser menor ou igual a um certo valor.
Calculamos a FDC somando as probabilidades até cada valor:
Gráfico da Função de Distribuição Acumulada:
1.0 |                *
    |           *
0.5 |     *
    |  *
0.0 |____________________
      0  1  2  3
Cada ponto mostra a probabilidade acumulada até aquele valor de .

Passo 4

Vamos calcular o valor esperado (ou média) de . O valor esperado dá uma ideia do “centro” da distribuição de .
A fórmula é:
Calculando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a variância de . A variância mostra o quanto os valores de estão espalhados em relação ao valor esperado.
A fórmula é:
Primeiro, calculamos :
Então,

Passo 6

Vamos determinar as seguintes probabilidades:
Isso significa a probabilidade de ser maior que 0 e menor que 1. Olhando os valores possíveis de , só temos . Não há nenhum valor entre 0 e 1, então:
Já calculamos isso na função de distribuição acumulada:
Como o maior valor que pode assumir é 3:
Como só pode ser 0,1,2 ou 3, “maior que 2.5” só inclui :

Resposta

  • Valor Esperado de :
  • Variância de :

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