Uma urna contém 3 bolas numeradas (1, 2 e 3 ). Primeiro uma bola é retirada da urna. Se sair a bola , seleciona-se peças com reposição de um lote contendo de peças defeituosas. Seja o número de peças defeituosas na amostra.
a) Ache o conjunto de valores possíveis de e a sua distribuição de probabilidade.
b) Porque não temos distribuição binomial em a)?
c) Calcule .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma urna com 3 bolas numeradas de 1 a 3. Primeiro, a gente retira uma bola da urna. Se sair a bola número , vamos selecionar peças de um lote, com reposição, onde 60% dessas peças são defeituosas. Nosso objetivo é estudar a variável aleatória , que representa o número de peças defeituosas na amostra. Para resolver esse problema, vamos precisar entender conceitos de probabilidade e distribuição de variáveis aleatórias.
Passo 2
Vamos começar pela parte a): encontrar o conjunto de valores possíveis de e sua distribuição de probabilidade. Primeiro, precisamos identificar quais valores pode assumir. Como o número de peças selecionadas depende da bola retirada (), vamos analisar cada caso.
Passo 3
Se retirarmos a bola 1 ():
Selecionamos 1 peça.
A probabilidade de uma peça ser defeituosa é 60%, ou seja, .
Então, pode ser 0 ou 1.
Se retirarmos a bola 2 ():
Selecionamos 2 peças.
Cada peça tem 60% de chance de ser defeituosa.
Então, pode ser 0, 1 ou 2.
Se retirarmos a bola 3 ():
Selecionamos 3 peças.
Cada peça tem 60% de chance de ser defeituosa.
Então, pode ser 0, 1, 2 ou 3.
Passo 4
Agora, vamos calcular as probabilidades para cada valor de . Como a retirada das bolas é igualmente provável, a probabilidade de retirar qualquer bola é .
Vamos calcular para cada caso:
Bola 1 ():
Bola 2 ():
Distribuição binomial: segue .
Bola 3 ():
Distribuição binomial: segue .
Passo 5
Agora, combinando essas probabilidades com a chance de retirar cada bola (), temos a distribuição completa de :
Passo 6
Passando para a parte b): por que a distribuição de não é binomial? A distribuição binomial tem duas condições principais:
Número fixo de tentativas.
Probabilidade constante de sucesso em cada tentativa.
No nosso caso, o número de tentativas () depende da bola retirada, que é uma variável aleatória. Ou seja, o número de peças selecionadas não é fixo, mas varia de 1 a 3, tornando a probabilidade de sucesso () dependente do número de tentativas. Por isso, não podemos modelar diretamente com uma distribuição binomial.
Passo 7
Finalmente, na parte c), vamos calcular o valor esperado de , ou seja, . O valor esperado pode ser calculado somando o produto de cada valor possível de pela sua respectiva probabilidade:
Resposta
a) Os valores possíveis de são 0, 1, 2 e 3, com a distribuição de probabilidade:
b) Não temos distribuição binomial porque o número de tentativas () não é fixo, mas depende da bola retirada.