Uma urna contém 3 bolas numeradas (1, 2 e 3 ). Primeiro uma bola é retirada da urna. Se sair a bola i, seleciona-se i peças com reposição de um lote contendo 60 % de peças defeituosas. Seja X o número de peças defeituosas na amostra.
a) Ache o conjunto de valores possíveis de X e a sua distribuição de probabilidade.
b) Porque não temos distribuição binomial em a)?
c) Calcule E[X].

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma urna com 3 bolas numeradas de 1 a 3. Primeiro, a gente retira uma bola da urna. Se sair a bola número , vamos selecionar peças de um lote, com reposição, onde 60% dessas peças são defeituosas. Nosso objetivo é estudar a variável aleatória , que representa o número de peças defeituosas na amostra. Para resolver esse problema, vamos precisar entender conceitos de probabilidade e distribuição de variáveis aleatórias.

Passo 2

Vamos começar pela parte a): encontrar o conjunto de valores possíveis de e sua distribuição de probabilidade. Primeiro, precisamos identificar quais valores pode assumir. Como o número de peças selecionadas depende da bola retirada ( ), vamos analisar cada caso.

Passo 3

Se retirarmos a bola 1 ( ):
  • Selecionamos 1 peça.
  • A probabilidade de uma peça ser defeituosa é 60%, ou seja, .
  • Então, pode ser 0 ou 1.
Se retirarmos a bola 2 ( ):
  • Selecionamos 2 peças.
  • Cada peça tem 60% de chance de ser defeituosa.
  • Então, pode ser 0, 1 ou 2.
Se retirarmos a bola 3 ( ):
  • Selecionamos 3 peças.
  • Cada peça tem 60% de chance de ser defeituosa.
  • Então, pode ser 0, 1, 2 ou 3.

Passo 4

Agora, vamos calcular as probabilidades para cada valor de . Como a retirada das bolas é igualmente provável, a probabilidade de retirar qualquer bola é .
Vamos calcular para cada caso:
  1. Bola 1 ( ):
  2. Bola 2 ( ):
    • Distribuição binomial: segue .
  3. Bola 3 ( ):
    • Distribuição binomial: segue .

Passo 5

Agora, combinando essas probabilidades com a chance de retirar cada bola ( ), temos a distribuição completa de :

Passo 6

Passando para a parte b): por que a distribuição de não é binomial? A distribuição binomial tem duas condições principais:
  1. Número fixo de tentativas.
  2. Probabilidade constante de sucesso em cada tentativa.
No nosso caso, o número de tentativas ( ) depende da bola retirada, que é uma variável aleatória. Ou seja, o número de peças selecionadas não é fixo, mas varia de 1 a 3, tornando a probabilidade de sucesso ( ) dependente do número de tentativas. Por isso, não podemos modelar diretamente com uma distribuição binomial.

Passo 7

Finalmente, na parte c), vamos calcular o valor esperado de E[X] = 0 times 0,208 + 1 times 0,456 + 2 times 0,264 + 3 times 0,072 = 0 + 0,456 + 0,528 + 0,216 = 1,2 , ou seja, . O valor esperado pode ser calculado somando o produto de cada valor possível de pela sua respectiva probabilidade:

Resposta

a) Os valores possíveis de P(X=0) = 0,208 P(X=1) = 0,456 P(X=2) = 0,264 P(X=3) = 0,072 são 0, 1, 2 e 3, com a distribuição de probabilidade:
b) Não temos distribuição binomial porque o número de tentativas ( ) não é fixo, mas depende da bola retirada.
c) O valor esperado de é .

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