Joga-se um dado equilibrado. Qual é a probabilidade de serem necessários 10 lançamentos até a primeira ocorrência de um seis?

Passo 1

Vamos resumir o problema: estamos jogando um dado equilibrado e queremos descobrir qual é a probabilidade de precisarmos de 10 lançamentos para obtermos o primeiro seis. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição geométrica, que nos ajuda a calcular a chance de que o primeiro sucesso (neste caso, tirar um seis) aconteça no enésimo lançamento.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a probabilidade de tirar um seis em um único lançamento de dado. Como o dado é equilibrado, há 6 faces, e apenas uma delas é o seis. Então, a probabilidade de tirar um seis em um lançamento é:

Passo 3

Agora, queremos que o primeiro seis apareça exatamente no 10º lançamento. Isso significa que, nos 9 primeiros lançamentos, NÃO devemos tirar um seis, e no 10º lançamento, DEVEMOS tirar um seis.

Passo 4

A probabilidade de NÃO tirar um seis em um lançamento é:
ã

Passo 5

Como os lançamentos são independentes, a probabilidade de não tirar um seis em 9 lançamentos seguidos é:

Passo 6

Finalmente, a probabilidade de tirar um seis no 10º lançamento é:
º

Resposta

Multiplicando as probabilidades de não tirar um seis nos 9 primeiros lançamentos e tirar um seis no 10º, temos:
Portanto, a probabilidade de serem necessários 10 lançamentos até a primeira ocorrência de um seis é aproximadamente 3,88%.

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