Uma urna contém N bolas brancas e M bolas pretas. A bolas são selecionadas aleatoriamente, uma de cada vez, até que saia uma bola preta. Se supormos que cada bola selecionada seja substituída antes que a próxima bola seja retirada, qual é a probabilidade de que
a) sejam necessárias exatamente n retiradas?
b) sejam necessárias pelo menos k retiradas?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma urna com N bolas brancas e M bolas pretas. As bolas são retiradas uma a uma, com reposição, até que seja retirada uma bola preta. Vamos calcular as probabilidades para as duas situações apresentadas: a) exatamente n retiradas, e b) pelo menos k retiradas.

Resolução da parte a)

Passo 2

Para encontrar a probabilidade de que exatamente n retiradas sejam necessárias para obter a primeira bola preta, precisamos considerar que nas primeiras n-1 retiradas todas foram bolas brancas, e na n-ésima retirada foi uma bola preta.

Passo 3

A probabilidade de retirar uma bola branca em uma única retirada é NN + M, já que há N bolas brancas e um total de N + M bolas.

Passo 4

Como as retiradas são independentes (devido à reposição), a probabilidade de retirar n-1 bolas brancas consecutivamente é (NN + M)^n-1.

Passo 5

A probabilidade de retirar uma bola preta na n-ésima tentativa é MN + M.

Passo 6

Agora, vamos calcular a probabilidade de que sejam necessárias pelo menos k retiradas para obter uma bola preta. Isso significa que nas primeiras k-1 retiradas todas foram bolas brancas.

Passo 7

A probabilidade de retirar uma bola branca em uma única retirada é NN + M, assim como anteriormente.

Passo 8

Como as retiradas são independentes, a probabilidade de retirar k-1 bolas brancas consecutivamente é (NN + M)^k-1.

Resposta

Portanto, a probabilidade de que sejam necessárias pelo menos k retiradas é:
P(pelo menos k) = (NN + M)^k-1

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