Uma urna contém bolas brancas e bolas pretas. A bolas são selecionadas aleatoriamente, uma de cada vez, até que saia uma bola preta. Se supormos que cada bola selecionada seja substituída antes que a próxima bola seja retirada, qual é a probabilidade de que a) sejam necessárias exatamente retiradas? b) sejam necessárias pelo menos k retiradas?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma urna com bolas brancas e bolas pretas. As bolas são retiradas uma a uma, com reposição, até que seja retirada uma bola preta. Vamos calcular as probabilidades para as duas situações apresentadas: a) exatamente retiradas, e b) pelo menos retiradas. # Resolução da parte a)

Passo 2

Para encontrar a probabilidade de que exatamente retiradas sejam necessárias para obter a primeira bola preta, precisamos considerar que nas primeiras retiradas todas foram bolas brancas, e na -ésima retirada foi uma bola preta.

Passo 3

A probabilidade de retirar uma bola branca em uma única retirada é , já que há bolas brancas e um total de bolas.

Passo 4

Como as retiradas são independentes (devido à reposição), a probabilidade de retirar bolas brancas consecutivamente é .

Passo 5

A probabilidade de retirar uma bola preta na -ésima tentativa é .

Passo 6

Agora, vamos calcular a probabilidade de que sejam necessárias pelo menos retiradas para obter uma bola preta. Isso significa que nas primeiras retiradas todas foram bolas brancas.

Passo 7

A probabilidade de retirar uma bola branca em uma única retirada é , assim como anteriormente.

Passo 8

Como as retiradas são independentes, a probabilidade de retirar bolas brancas consecutivamente é .

Resposta

Portanto, a probabilidade de que sejam necessárias pelo menos retiradas é:

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