Seja T uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade dada por
f(t)=54(t+1)^2, 0 <= t <= 4
Determine a função distribuição acumulada de T.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória contínua f(t) = 54(t+1)^2, 0 <= t <= 4 com uma função densidade de probabilidade definida por
O objetivo aqui é encontrar a função distribuição acumulada (FDA) de . Para isso, vamos precisar entender que a FDA nos dá a probabilidade de que seja menor ou igual a um certo valor . Para calcular , vamos integrar a função densidade de probabilidade de um ponto inicial até .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da função distribuição acumulada. A FDA é definida como:
F(t) = P(T <= t) = integrala^t f(s) , ds
Onde é o limite inferior do intervalo de . No nosso caso, e varia de 0 a 4.

Passo 3

Agora, vamos substituir a função densidade F(t) = integral0^t 54(s+1)^2 , ds na integral:
Precisamos resolver essa integral para encontrar .

Passo 4

Vamos resolver a integral:
integral 54(s+1)^2 , ds
Podemos simplificar a constante fora da integral:
54 integral 1(s+1)^2 , ds
Agora, sabemos que:
integral 1(s+1)^2 , ds = -1s+1 + C
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Aplicando o resultado da antiderivada na nossa integral definida:
F(t) = 54 [ -1s+1 ]0^t
Agora, vamos calcular os limites de integração:
F(t) = 54 ( -1t+1 + 10+1 ) = 54 ( 1 - 1t+1 )

Passo 6

Simplificando a expressão:
F(t) = 54 ( t+1 - 1t+1 ) = 54 ( tt+1 ) = 5t4(t+1)

Resposta

A função distribuição acumulada de F(t) = 5t4(t+1), 0 <= t <= 4 é

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