Dada a função de distribuição acumulada F(x) de uma variável aleatória contínua X, onde:
F(x)=c 0 , se x<0 x / 4 se 0 <= x <= 4 1 , se x>4
determine a função de densidade de probabilidade (f.d.p) f(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função de distribuição acumulada (F(x)) para uma variável aleatória contínua X. Nosso objetivo aqui é encontrar a função de densidade de probabilidade (f(x)) dessa variável. Para isso, vamos precisar entender que a f(x) é basicamente a derivada da F(x). Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de distribuição acumulada (F(x)). Ela nos dá a probabilidade de a variável aleatória X ser menor ou igual a um valor específico x. No nosso caso, a F(x) é definida por partes:
  • F(x) = 0, se x < 0
  • F(x) = x/4, se 0 ≤ x ≤ 4
  • F(x) = 1, se x > 4

Passo 3

A função de densidade de probabilidade (f(x)) é a derivada da função de distribuição acumulada (F(x)). Ou seja, f(x) = dF(x)/dx. Vamos derivar cada parte da F(x) separadamente.

Passo 4

Vamos derivar F(x) para cada intervalo de x:
  1. Quando x < 0:
    • F(x) = 0
    • A derivada disso é 0, pois a função é constante.
  2. Quando 0 ≤ x ≤ 4:
    • F(x) = x/4
    • Derivando em relação a x: d/dx (x/4) = 1/4
  3. Quando x > 4:
    • F(x) = 1
    • A derivada disso também é 0, já que é constante.

Passo 5

Agora, juntando todas as derivadas que encontramos, temos a função de densidade de probabilidade f(x):
  • f(x) = 0, se x < 0
  • f(x) = 1/4, se 0 ≤ x ≤ 4
  • f(x) = 0, se x > 4

Resposta

A função de densidade de probabilidade f(x) é:
f(x)=ll 0 & , se x < 0 dfrac14 & , se 0 <= x <= 4 0 & , se x > 4

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