Dada a função de distribuição acumulada
de uma variável aleatória contínua X, onde:
determine a função de densidade de probabilidade (f.d.p) f(x).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma função de distribuição acumulada (F(x)) para uma variável aleatória contínua X. Nosso objetivo aqui é encontrar a função de densidade de probabilidade (f(x)) dessa variável. Para isso, vamos precisar entender que a f(x) é basicamente a derivada da F(x). Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de distribuição acumulada (F(x)). Ela nos dá a probabilidade de a variável aleatória X ser menor ou igual a um valor específico x. No nosso caso, a F(x) é definida por partes:
- F(x) = 0, se x < 0
- F(x) = x/4, se 0 ≤ x ≤ 4
- F(x) = 1, se x > 4
Passo 3
A função de densidade de probabilidade (f(x)) é a derivada da função de distribuição acumulada (F(x)). Ou seja, f(x) = dF(x)/dx. Vamos derivar cada parte da F(x) separadamente.
Passo 4
Vamos derivar F(x) para cada intervalo de x:
-
Quando x < 0:
- F(x) = 0
- A derivada disso é 0, pois a função é constante.
-
Quando 0 ≤ x ≤ 4:
- F(x) = x/4
- Derivando em relação a x: d/dx (x/4) = 1/4
-
Quando x > 4:
- F(x) = 1
- A derivada disso também é 0, já que é constante.
Passo 5
Agora, juntando todas as derivadas que encontramos, temos a função de densidade de probabilidade f(x):
- f(x) = 0, se x < 0
- f(x) = 1/4, se 0 ≤ x ≤ 4
- f(x) = 0, se x > 4
Resposta
A função de densidade de probabilidade f(x) é: