Dada a função de distribuição acumulada (FDA) de uma variável aleatória contínua X, F(x)=1-e^-2 x para x >= 0, determine a função densidade de probabilidade (FDP) de X.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma Função de Distribuição Acumulada (FDA) de uma variável aleatória contínua , dada por para . Nosso objetivo aqui é encontrar a Função Densidade de Probabilidade (FDP) dessa variável. Para isso, vamos precisar entender como derivar a FDP a partir da FDA.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Função Densidade de Probabilidade (FDP) é a derivada da Função de Distribuição Acumulada (FDA). Ou seja, se f(x) = dF(x)dx é a FDA, então a FDP é dada por:
Isso porque a FDP nos dá a probabilidade de assumir valores em infinitesimais intervalos.

Passo 3

Agora, vamos derivar a FDA que foi fornecida:
F(x) = 1 - e^-2x
A derivada de f(x) = ddx (1 - e^-2x) em relação a f(x) = 0 - ddx (e^-2x) = -(-2)e^-2x = 2e^-2x será:
Calculando a derivada termo a termo:

Resposta

A Função Densidade de Probabilidade (FDP) de f(x) = 2e^-2x para x >= 0 é:

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