Dada uma variável aleatória contínua X com a f.d.p f(x)=3 x^2 para 0 <= x <= 10, calcule o valor esperado E(X).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma variável aleatória contínua com a função densidade de probabilidade (f.d.p) para . Nosso objetivo aqui é calcular o valor esperado , que basicamente nos dá a média ponderada de todos os valores possíveis que pode assumir.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o valor esperado para uma variável contínua. O valor esperado E(X) = integral-infty^+infty x cdot f(x) , dx é calculado usando a fórmula:
E(X) = integral0^10 x cdot f(x) , dx
No nosso caso, como é diferente de zero apenas entre 0 e 10, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos substituir a função densidade de probabilidade E(X) = integral0^10 x cdot 3x^2 , dx = integral0^10 3x^3 , dx na fórmula:

Passo 4

Vamos resolver a integral:
E(X) = 3 integral0^10 x^3 , dx
A integral de integral x^3 , dx = x^44 + C é:
E(X) = 3 [ 10^44 - 0^44 ] = 3 [ 100004 ] = 3 times 2500 = 7500
Então, substituindo nos limites de 0 a 10:

Resposta

O valor esperado é 7500.

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